Метод Кранка — Ніколсон

Шаблон:Диференціальні рівняння Метод Кранка — Ніколсон — це спеціальний чисельний метод розв'язку диференціальних рівнянь з частинними похідними в обчислювальній математиці, за допомогою особливої схеми методу скінченних різниць, зокрема для рівняння теплопровідності та дифузії. Це неявний метод 2 порядку і є чисельно стабільним щодо кроку різницевої сітки. Метод винайшли в середині 20-го століття англійські вчені Джон Кранк та Филліс Ніколсон.

Для рівняння теплопровідності, дифузії і багатьох інших схожих рівнянь можна довести, що метод Кранка — -Ніколсон є безумовно чисельно стабільним. Проте, при використанні великого кроку сітки (коли $\mathrm{\Delta }t/\mathrm{\Delta }{x}^2>0.5$) розв'язок може містити сильні коливання. У випадку, коли крок різницевої сітки змінити неможливо, при нестабільності розв'язку рекомендується використовувати менш точний, але також чисельно стабільний неявний зворотній метод Ейлера.

Опис методу

Різницева схема сітки в методі Кранка — Ніколсон для одновимірної задачі

Неявна схема, яку винайшли Джон Кранк та Филліс Ніколсон ґрунтується на чисельному наближенню параболічного диференціального рівняння другого порядку. Як приклад візьмемо одновимірне рівняння теплопровідності

$u_t(x,t)=c^2{u}_{xx}(x,t)$

для $0\le x<a$ та $0<t<b$ з початковою умовою $u(x,0)=f(x)$ та крайовими умовами $u(0,t)=g_1(t)$ ; $u(a,t)=g_2(t)$ в точці $(x,t+\mathrm{\Delta }t/2)$ котра знаходиться між рядами різницевої сітки з кроком $h=\mathrm{\Delta }x$ та $k=\mathrm{\Delta }t$.

Тоді для похідних отримаємо

$u_t(x,t+k/2)=\frac{u(x,t+k)-u(x,t)}{k}+O(k^2)$

$u_{xx}(x,t+k/2)=\frac{1}{2h^2}(u(x-h,t+k)-2u(x,t+k)+u(x+h,t+k)+u(x-h,t)-2u(x,t)+u(x+h,t))+O(h^2)$

Тобто використовується середнє значення наближень похідних $u_{xx}(t,k)$ та $u_{xx}(x,t+k)$ для наближення $u_{xx}(x,t+k/2)$

Підставляючи ці вирази в рівняння теплопровідності (і спрощуючи запис $u(x_j,t_n)\to u_{j,n}$) отримаємо

$\frac{u_{j,n+1}-u_{j,n}}{k}=c^2\frac{u_{j-1,n+1}-2u_{j,n+1}+u_{j+1,n+1}+u_{j-1,n}-2u_{j,n}+u_{j+1,n}}{2h^2}$

Використовуємо для зручності $r=c^{2}k/h^2$ і переносимо всі значення функції з часом $t+k$ в ліву частину рівняння.

Після впорядкування членів рівняння отримаємо неявну різницеву схему для $j=2,3,...,N-1$

$-r{u}_{j-1,n+1}+(2+2r)u_{j,n+1}-r{u}_{j+1,n+1}=(2-2r)u_{j,n}+r(u_{j-1,n}+u_{j+1,n})$

Рівняння у такій формі має вигляд тридіагональної системи алгебраїчних рівнянь

$AX=B$

і розв'язується звичайними прямими чи ітераційними методами лінійної алгебри.

В схемі Кранка — Ніколсон використовується шість точок основної різницевої сітки для наближення проміжної точки $u_{xx}(x,t+k/2)$, на якій базуються всі чисельні наближення.