Поліноміальні моделі цифрових пристроїв

Шаблон:Вікіфікувати Поліноміальна модель цифрового пристрою — це аналітичний вираз у вигляді поліному, який однозначно відображає алгоритм перетворення вхідних даних у вихідні.

Наприклад: Задана таблиця 1 цифрового пристрою, що реалізує функцію F(X_i)(вихідні дані). Вхідними даними є аргумент X, що визначає номер рядка таблиці, представлений у вигляді натурального числа у десятковій системі числення (X₁₀ = 0, 1, 2, …, m). Для синтезу поліноміальної моделі цифрового пристрою використовують двозначну або тризначну систему числення (тризначна система числення використовувалась в ЭОМ «Сетунь»). В цьому випадку аргумент X замінюють кодом числа X в одній із вказаних систем числення зі змінними x_i, які однозначно визначають X₁₀ =$(x_n\dots x_i\dots x_1{)}_2=\sum _{k=0}^{n-1}{x}_{k+1}{q}^k,$ де:

• q — основа системи числення,
• x_k+1 — значення x_k+1 розряду,

Таблиця 1.

X	xn	.	xi	.	x1	F(xi)
0	0	.	0	.	0	F(0)
1	0	.	0	.	1	F(1)
.	.	.	.	.	.	.
k	xkn	.	xki	.	xk1	F(k)
.	.	.	.	.	.	.
m	xmn	.	xmi	.	xm1	F(m)

Задача створення аналітичного виразу (математичної моделі) у вигляді полінома F(x_i) від незалежних змінних x_i), зводиться до визначення вигляду та коефіцієнтів цього полінома, що в свою чергу, залежить від обраної системи числення.

Поліноміальну математичну модель F(x_i) шукають у вигляді скалярного добутку двох векторів — b^t та P(X) (де: b^t — транспонований вектор b).

Компонентами вектора b^t є коефіцієнти апроксимуючого полінома.

Нелінійна частина апроксимуючого полінома P(X) залежить від обраної системи числення. Компонентами вектора P(X) для двозначної системи числення є одночлени алгебраїчного полінома, отриманого шляхом перемноження простих лінійних функцій для одного розряду: P(X)=(1+x₁)(1+x₂)(1+x₃)…(1+x_i)=1 + x₁ + x₂ + x₁ x₂ + x₃ + x₁ x₃ + x₂ x₃ + x₁ x₂ x₃… до тих пір, поки не виконається співвідношення 2ⁱ = m (m — кількість рядків в таблиці 1).

Компонентами вектора P(X) для тризначної системи числення є одночлени алгебраїчного полінома, отриманого шляхом добутку простих квадратних функцій для одного розряду: P(X)=(1 + $x_1$ + $x_1^2$)(1+ $x_2$ + $x_2^2$)(1 + $x_3$ + $x_3^2$)…(1 + $x_i$ + $x_i^2$) = 1 + $x_1$ + $x_1^2$ + $x_2$ + $x_1$ $x_2$ + $x_1^2$ $x_2$ + $x_2^2$ + $x_1$ $x_2^2$ + $x_1^2$ $x_2^2$ + $x_3$ + $x_1$ $x_3$ + $x_1^2$ $x_3$ + $x_2$ $x_3$ + $x_1$ $x_2^2$ $x_3$ + $x_1^2$ $x_2$ $x_3$ + $x_2^2$ $x_3$ + $x_1$ $x_2^2$ $x_3$ + $x_1^2$ $x_2^2$ $x_3$ + $x_3^2$ + $x_1$ $x_3^2$ + $x_1^2$ $x_3^2$ + $x_2$ $x_3^2$ + $x_1$ $x_2$ $x_3^2$ + $x_1^2$ $x_2$ $x_3^2$ + $x_2^2$ $x_3^2$ + $x_1$ $x_2^2$ $x_3^2$ + $x_1^2$ $x_2^2$ $x_3^2$… до тих пір, поки не виконається співвідношення 3ⁱ = m.

Апроксимуючий поліном прийме вигляд:

F(x_i)=b^t*P(X)=:$\left[\begin{array}{cccccc}{b}_0& b_1& ...& b_j& ...& b_m\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{p}_0=1\\ p_1=x_1\\ ...\\ p_j\\ ...\\ p_m\end{array}\right]=$ $b_0$ + $b_1$ $x_1$ + …

Задача формування математичної моделі зводиться до визначення компонент b_j (j= 0,1, …m) вектора b.

Двозначна система числення

Алгебраїчний поліном

Алгоритм визначення коефіцієнтів b_j полінома F(x_i). Вхідним виразом служить матриця C₁: $C_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$.

Подальші матриці будуються за рекурсивною процедурою: $C_i=\left[\begin{array}{cc}{C}_{i-1}& 0\\ -C_{i-1}& C_{i-1}\end{array}\right]$ до тих пір, поки не виконається співвідношення 2ⁱ = m

Для знаходження вектора b, що складається з компонент шуканих коефіцієнтів b_j, необхідно перемножити матрицю C_i на вектор, що складається з компонент правого стовпчика F(x_i) таблиці 1:

b = C_i * F(x_i)

Поліном Жегалкіна

Поліном Жегалкіна має той же вигляд, що і алгебраїчний поліном. Відмінність полягає в тому, що операції алгебраїчного множення та суми замінюються на логічні функції кон'юнкції та суми по mod.2 (виключної диз'юнкції).

Вхідним виразом служить матриця C₁:

$C_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right]$

Подальші матриці будуються відповідно за рекурсивною процедурою:

$C_i=\left[\begin{array}{cc}{C}_{i-1}& 0\\ C_{i-1}& C_{i-1}\end{array}\right]$

до тих пір, поки не виконається співвідношення 2ⁱ=m .

Для знаходження вектора b, необхідно перемножити матрицю C_i на вектор, що складається з компонент правого стовпчика таблиці 1 з урахуванням підсумовування часткових добутків по mod.2: b = [(C_i)*F(x_i)]mod2.

Тризначна система числення

Алгебраїчний поліном.

Тризначна симетрична система числення (-1,0,1)

Матриця C₁ для симетричної системи числення має вигляд:

C₁= $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -0,5& 0& 0,5\\ 0,5& -1& 0,5\end{array}\right]$    

Наступні матриці будуються відповідно до рекурсивних співвідношень:

C_i= $\left[\begin{array}{ccc}0& C_{i-1}& 0\\ -0,5*C_{i-1}& 0& 0,5*C_{i-1}\\ 0,5*C_{i-1}& -C_{i-1}& 0,5*C_{i-1}\end{array}\right]$    

Вектор b знаходять у відповідності з виразом: b=[(C_i)*F(x_i)], а поліноміальну математичну модель згідно з виразом:

F(x_i) = b^t * P(X)

Тризначна несиметрична система числення (0,1,2)

Алгоритм той же, що і для симетричної системи числення, відмінність тільки в матрицях:

C₁= $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1,5& 2& -0,5\\ 0,5& -1& 0,5\end{array}\right]$    

C_i= $\left[\begin{array}{ccc}{C}_{i-1}& 0& 0\\ -1,5*C_{i-1}& 2*C_{i-1}& -0,5*C_{i-1}\\ 0,5*C_{i-1}& -C_{i-1}& 0,5*C_{i-1}\end{array}\right]$    

b=[(C_i)*F(x_i)];

F(x_i) = b^t * P(X).

Модифікація полінома Жегалкіна для тризначної системи числення

Модифікований поліном Жегалкіна має той же вигляд, що і алгебраїчний поліном для тризначної системи числення. Відмінність полягає в тому, що алгебраїчна сума замінюється на логічну функції суми по mod.3. Операція множення і зведення в квадрат аргументів x_i відповідають алгебраїчному множенню і зведенню аргументу в квадрат:

Існування і єдиність представлення модифікованим поліномом Жегалкіна будь-якої функції тризначної логіки аналогічно доказу для двозначної логіки.

Тризначна симетрична система числення (-1,0,1)

Алгоритм визначення коефіцієнтів b_j (j= 0,1, …m) аналогічний визначенню цих коефіцієнтів для алгебраїчного полінома в симетричній системі числення (-1,0,1). Відмінність у вхідних матрицях. Матриця C₁ для симетричної системи числення (-1,0.1) має вигляд:

C₁= $\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right]$    .

Рекурсивне співвідношення для наступних матриць: C_i= $\left[\begin{array}{ccc}0& C_{i-1}& 0\\ C_{i-1}& 0& -C_{i-1}\\ -C_{i-1}& -C_{i-1}& -C_{i-1}\end{array}\right]$    .

Вектор b шукаємо у відповідності з виразом: b=[(C_i)*F(x_i)]mod3, а поліноміальну математичну модель згідно з виразом: F(x_i) = (b^t * P(X))mod.3.

Тризначна несиметрична система числення (0,1,2)

Матриця C₁ для несиметричною системи числення (0,1,2):

C₁= $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 1\\ 2& 2& 2\end{array}\right]$    

Рекурсивне співвідношення для наступних матриць: C_i= $\left[\begin{array}{ccc}{C}_{i-1}& 0& 0\\ 0& 2*C_{i-1}& C_{i-1}\\ 2*C_{i-1}& 2*C_{i-1}& 2*C_{i-1}\end{array}\right]$    

b=[(C_i)*F(x_i)]mod3;

F(x_i) = (b^t * P(X))mod.3.

Приклади

Двозначна система числення. Алгебраїчний поліном

Задана таблиця 2. Визначити компоненти b_j (j= 0,1, …7) вектора b поліноміальної математичної моделі F(x_i)=b^t * P(X):

Таблиця 2.

x3	x2	x1	F(xi)
0	0	0	F(0)=0
0	0	1	F(1)=1
0	1	0	F(2)=4
0	1	1	F(3)=9
1	0	0	F(4)=16
1	0	1	F(5)=25
1	1	0	F(6)=36
1	1	1	F(7)=49

Шаблон:- Будуються матриці C₂ та C₃:

$C_2=\left[\begin{array}{cc}{C}_1& 0\\ -C_1& C_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$

$C_3=\left[\begin{array}{cc}{C}_2& 0\\ -C_2& C_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& -1& -1& 1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& -1& 0& 0& -1& 1& 0& 0\\ 1& 0& -1& 0& -1& 0& 1& 0\\ -1& 1& 1& -1& 1& -1& -1& 1\end{array}\right]$

Шуканий вектор b = C₃ * F(x_i)=

$\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& -1& -1& 1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& -1& 0& 0& -1& 1& 0& 0\\ 1& 0& -1& 0& -1& 0& 1& 0\\ -1& 1& 1& -1& 1& -1& -1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\\ 9\\ 16\\ 25\\ 36\\ 49\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 4\\ 4\\ 16\\ 8\\ 16\\ 0\end{array}\right]$

Поліноміальна математична модель:

F(x_i) = b^t * P(X)= $\left[\begin{array}{cccccccc}0& 1& 4& 4& 16& 8& 16& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}1\\ x_1\\ x_2\\ x_1*x_2\\ x_3\\ x_1*x_3\\ x_2*x_3\\ x_1*x_2*x_3\end{array}\right]=$ $x_1$ + 4*$x_2$ + 4*$x_1$*$x_2$ + 16*$x_3$ + 8*$x_1$*$x_3$ + 16*$x_2$*$x_3$

Якщо коефіцієнти b_j замінити кодами чисел у двозначній системі числення, то отримаємо вектор F(x_i), який встановлює зв'язок між розрядами аргумента x_i і функції f(_k)(k=1,2,…,6):

F(_k)=b^t * P(X) =

$\left[\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}1\\ x_1\\ x_2\\ x_1*x_2\\ x_3\\ x_1*x_3\\ x_2*x_3\\ x_1*x_2*x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_6\\ f_5\\ f_4\\ f_3\\ f_2\\ f_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ x_3+x_2*x_3\\ x_1*x_3\\ x_2+x_1*x_2\\ 0\\ x_1\end{array}\right]$

Принципова схема пристрою для зведення чисел у квадрат, згідно отриманої поліноміальної моделі, зображена на мал.1:

Мал. 1. Принципова схема пристрою для зведення чисел в квадрат

Двозначна система числення. Алгебра Жегалкіна

Задана таблиця 3. Визначити компоненти b_j (j= 0,1, …7) вектора b для полінома Жегалкіна:

Таблиця 3.

x3	x2	x1	F(xi)
0	0	0	F0=0
0	0	1	F1=1
0	1	0	F2=0
0	1	1	F3=1
1	0	0	F4=0
1	0	1	F5=0
1	1	0	F6=1
1	1	1	F7=1

Шаблон:- Будуються матриці C₂ та C₃:

$C_2=\left[\begin{array}{cc}{C}_1& 0\\ C_1& C_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$

$C_3=\left[\begin{array}{cc}{C}_2& 0\\ C_2& C_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$

Шуканий вектор b: $b=\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_0\\ (F_0+F_1)mod.2\\ (F_0+F_2)mod.2\\ (F_0+F_1+F_2+F_3)mod.2\\ (F_0+F_4)mod.2\\ (F_0+F_1+F_4+F_5)mod.2\\ (F_0+F_2+F_4+F_6)mod.2\\ (F_0+F_1+F_2+F_3+F_4+F_5+F_6+F_7)mod.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

Поліноміальна математична модель: F(x_i)=b^t*P(X) =$\left[\begin{array}{cccccccc}0& 1& 0& 0& 0& 1& 1& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}1\\ x_1\\ x_2\\ x_1*x_2\\ x_3\\ x_1*x_3\\ x_2*x_3\\ x_1*x_2*x_3\end{array}\right]=[$ $x_1$ + $x_1$ * $x_3$ + $x_2$ * $x_3$]mod.2.

Таблиця 3 реалізує функцію D-тригера. Змінним x_i відповідають найменування входів і виходів: x₁ = Q_t; x₂ = D; x₃ = C; F(x_i) = Q_t+1.

Алгоритм функціонування D-тригера описується формулою:Q_t+1 = [Q_t * (C + 1) + D * C)]mod.2.

Для зменшення обсягу обчислень застосовують властивості рекурсивної процедури побудови матриці C_j. У даному випадку знаходять перші значення коефіцієнтів b_j1 (j1 = 0,1, 2, 3) застосовуючи співвідношення: b_j1 = [(C₂)*F(x_i1)]mod2. . Останні коефіцієнти b_j2 (j2= 4,5, 6, 7) обчислюються за формулою: b_j2=[b_j1 + (C₂)*F(x_i2)]mod2.

Значення функції F(k) може бути у вигляді багаторозрядних десяткових чисел. В цьому випадку необхідно записати ці числа у двозначній системі числення і операцію суми по mod.2 проводити порозрядно.

Тризначна симетрична система числення (-1;0;1). Алгебраїчний поліном

Задана таблиця 4. Визначити компоненти b_j (j= 0,1, …8) вектора b для алгебраїчного полінома:

Таблиця 4.

x2	x1	F(xi)
-1	-1	1
-1	0	-1
-1	1	0
0	-1	-1
0	0	0
0	1	1
1	-1	0
1	0	1
1	1	-1

Шаблон:- Будується матриця C₂:

$C_2=\left[\begin{array}{ccc}0& C_1& 0\\ -0,5*C_1& 0& 0,5*C_1\\ 0,5*C_1& -C_1& 0,5*C_1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& -0,5& 0& 0,5& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0,5& -1& 0,5& 0& 0& 0& \\ 0& -0,5& 0& 0& 0& 0& 0& 0,5& 0& \\ 0,25& 0& -0,25& 0& 0& 0& -0,25& 0& 0,25& \\ -0,25& 0,5& -0,25& 0& 0& 0& 0,25& -0,5& 0,25& \\ 0& 0,5& 0& 0& -1& 0& 0& 0,5& 0& \\ -0,25& 0& 0,25& 0,5& 0& -0,5& -0,25& 0& 0,25& \\ 0,25& -0,5& 0,25& -0,5& 1& -0,5& 0,25& -0,5& 0,25& \end{array}\right]$

Шуканий вектор b = C₂ * F(x_i)= $=\left[\begin{array}{cccccccccc}0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& -0,5& 0& 0,5& 0& 0& 0& \\ 0& 0& 0& 0,5& -1& 0,5& 0& 0& 0& \\ 0& -0,5& 0& 0& 0& 0& 0& 0,5& 0& \\ 0,25& 0& -0,25& 0& 0& 0& -0,25& 0& 0,25& \\ -0,25& 0,5& -0,25& 0& 0& 0& 0,25& -0,5& 0,25& \\ 0& 0,5& 0& 0& -1& 0& 0& 0,5& 0& \\ -0,25& 0& 0,25& 0,5& 0& -0,5& -0,25& 0& 0,25& \\ 0,25& -0,5& 0,25& -0,5& 1& -0,5& 0,25& -0,5& 0,25& \end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ -1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\\ -1,5\\ 0\\ -1,5\\ 0\end{array}\right]$

Поліноміальна математична модель: F(x_i) = b^t * P(X)= $\left[\begin{array}{ccccccccc}0& 1& 0& 1& 0& -1,5& 0& -1,5& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}1\\ x_1\\ {x_1}^2\\ x_2\\ x_1*x_2\\ {x_1}^2*x_2\\ {x_2}^2\\ x_1*{x_2}^2\\ {x_1}^2*{x_1}^2\end{array}\right]=$ $x_1$ + $x_2$ — $1,5*{x_1}^2*x_2$ — $1,5*x_1*{x_2}^2$

реалізує функцію F(x_i)=($x_1$ + $x_2$)mod.3.

Тризначна симетрична система числення (-1;0;1). Модифікований поліном Жегалкіна

Задана таблиця 5. Для синтеза математичної моделі необхідно визначити компоненти b_j (j= 0, 1, …, 26) вектора b для модифікованого поліному Жегалкіна. Поліноміальна модель F(x_i) знаходиться як скалярний добуток двох векторів — b^t та P(X).

Таблиця 5.

F(xi)	-1	0	1	-1	0	1	-1	-1	-1	-1	0	1	-1	0	1	0	0	0	-1	0	1	-1	0	1	1	1	1
x3	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
x2	-1	-1	-1	0	0	0	1	1	1	-1	-1	-1	0	0	0	1	1	1	-1	-1	-1	0	0	0	1	1	1
x1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1	-1	0	1

Шаблон:- Побудувавши матрицю C₃ за рекурсивними співвідношеннями:

$C_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& -1\\ -1& -1& -1\end{array}\right]$;

$C_2=\left[\begin{array}{ccc}0& C_1& 0\\ C_1& 0& -C_1\\ -C_1& -C_1& -C_1\end{array}\right]$;

$C_3=\left[\begin{array}{ccc}0& C_2& 0\\ C_2& 0& -C_2\\ -C_2& -C_2& -C_2\end{array}\right]$

розраховується вектор b: b = [C₃ * F(x_i)]mod.3.

Визначивши компоненти вектора b отримаємо поліноміальну математичну модель модифікованого полінома Жегалкіна:

F(x_i)= ($x_1$ + $x_1$ * $x_2$ + $x_1$ * $x_2^2$ — $x_2$ * $x_3$ — $x_2^2$ * $x_3$)mod.3.

Таблиця 5 реалізує функцію D-тригера. Змінним x_i відповідають найменування входів і виходів: x₁= Q_t; x₂= C; x₃= D; F(x_i)= Q_t+1.

Алгоритм функціонування D-тригера описується формулою:

Q_t+1 = [Q_t * (1 + C + C²) — D * (С + C²)]mod.3

Див. також

• Поліном Жегалкіна
• Модель
• Математичне моделювання
• Поліноміальна інтерполяція

Література

1. Пухов Г. Е., Евдокимов В. Ф., Синьков М. В. «Разрядно-аналоговые вычислительные системы». -М., «Сов. радио», 1978.
2. Плющ Ю. А. Аппаратурная реализация функционального преобразования в специализированных вычислительных устройствах/ «Гибридные вычислительные машины». -К., «Наукова думка», 1979.
3. V. Evdokimov, Y. Plushch, A. Chemeris «SYNTHESIS OF DISCRETE DEVICES ON BASIS OF BIT TRANSFORMATIONS»/ ROCZNIKI INFORMATYKI STOSOWANEJ WYDZIALU INFORMATYKI POLITECHNIKI SZCZECINSKIEJ NR 3. Szczecin, 2002.
4. Автор. свид. СССР № 631918. МКИ³ G 06 f 15/32. БИ № 32, 30.08.79г.