Експоненційний розподіл втрат у страхуванні

Для страхової компанії ризик втрати, що приймається на страхування — це негативна по своїх можливих економічних наслідках випадкова величина. Значення її характеристик дозволяє дати їй вартісну оцінку, а також — прогноз фінансового стану компанії. Нехай є фактичні значення збитку її, який був понесений однаковими об'єктами в результаті страхового випадку впродовж деякого часу. Тоді можна вважати, що відомі вибіркові оцінки для середнього значення і дисперсії випадкової величини $Y$, що описує можливі втрати в результаті страхового випадку. Тоді, виникає задача підбору гіпотетичного розподілу $f_Y(x)$, що найкращим чином відповідає фактичним даним. У актуарній літератрі застосовуються розподіли для опису за одним договором і по одному страховому випадку.

Основний інструмент актуарних розрахунків

Це теорія ймовірностей, оскільки застраховані ризики є випадковими величинами. Тому при здійсненні страхових операцій взагалі, а при актуарних розрахунках зокрема, доводиться збирати, обробляти і оцінювати випадкові величини. Потім на основі отриманих результатів розраховується ціна страхових продуктів і розмір страхових платежів. Проте використання тільки теорії ймовірності не в змозі надати необхідні цифрові дані для практичного використання страхових операцій. Вони, в свою чергу, можуть бути отримані на основі спостережень. Під випадковою подією у страхуванні розуміють страховий випадок, що може відбутися чи не відбутися. При знаходженні ймовірності $P(A)$ настання страхової події $A$ не можна користуватися класичним означенням. В цьому випадку користуються статистичним означенням, при якому під ймовірністю $P(A)$ розуміють число, навколо якого коливається відносна частота настання події $A$ в довгих серіях експерименту (відносна частота — відношення числа випробувань, у яких подія $A$ з'явилася, до загального числа проведених випробувань). Розглядають дискретні та неперервні випадкові величини. у страхуванні до дискретних належать — кількість укладених договорів із певного виду страхування, кількість страхових випадків та поданих згідно з ними запитів про виплату відшкодування; до неперервних — загальний обсяг відповідальності згідно з укладеними договорами, а також часові показники: проміжки часу між укладанням договорів страхування та виплатою страхового відшкодування за окремими взятими договорами. Випадкові величини описуються законами або функціями розподілу ймовірностей та певними числовими характеристиками.

Експоненційний розподіл

Шаблон:Докладніше Це розподіл неперервної випадкової величини $Y$ з параметром $\lambda >0$, заданий законом:

$f_Y(x)=\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda (x-x_0)}& ,x\ge x_0,\\ 0& ,x<x_0.\end{array}$.

Щільність розподілу

$f_Y(x)=\lambda e^{-\lambda (x)};x\ge 0$.

Середнє значення і дисперсія

$EY=\frac{1}{\lambda }$

$VarY=\frac{1}{{\lambda }^2}$

Для експоненційно розподіленої величини середнє дорівнює середньоквадратичному відхиленню, що є доволі жорсткою умовою. Відзначимо, що, припускаючи експоненційний розподіл для втрат, ми таким чином маємо на увазі можливість катастрофічно великих значень збитків (немає обмеження на Х зверху). Проте, щільність експоненційного розподілу є швидкою спадаючою функцією, що робить імовірність великих збитків нікчемно малою. Характерна межа експоненційного розподілу — значна кількість невеликих позовів і можливість рідкісних дуже великих позовів, тобто воно є асиметричним і «довгохвостим».

Приклад застосування експоненційного розподілу

Одна з найбільш уживаних моделей у страховій математиці — це класична модель ризику. У цій моделі розміри виплат, що їх проводить страхова компанія, утворюють послідовність незалежних випадкових величин, однаково розподілених з функцією розподілу $P(x)$. Припустимо, що $P(x)$ має експоненційний розподіл, причому середня величина позову $M=1$ , тобто $P(x)=1-e^{-x}$; $x>0$. Тоді ймовірність банкрутства $W(u)=(1/1+Oi)*e$, де $Oi$ — відносна страхова надбавка,$u$ — початковий капітал. У випадку, коли виплати страхової компанії мають не експоненційний розподіл, вказати точну формулу для ймовірності банкрутства $W(u)$ практично неможливо.

Див. також

• Розподіл Парето для втрат у страхуванні
• Експоненційний розподіл
• Гамма розподіл втрат в страхуванні
• Ровномірний розподіл втрат в страхуванні

Джерела

• Козьменко О. В. Актуарні розрахунки: навчальний посібник/О. В. Козьменко.-Суми: Університетська книга,2011-224с.
• Кінаш О. М. Основи актуарних розрахунків/Кінаш О. М., Сороківський В. М., Сороківська М. В. — Львів: Навчально-методичний посібник, 2012