Тест другої похідної

Тест другої похідної — критерій для визначення коли критична точка дійсно значимої функції від однієї змінної є локальним максимумом чи мінімумом через використання другої похідної в точці.

Твердження: якщо функція f двічі диференційовна в критичній точці x (тобто f'(x) = 0), тоді:

• Якщо $f^{\prime \prime }(x)<0$ тоді $f$ має локальний максимум у $x$.
• Якщо $f^{\prime \prime }(x)>0$ тоді $f$ має локальний мінімум у $x$.
• Якщо $f^{\prime \prime }(x)=0$, тест непереконливий.

В останньому випадку, щоб визначити поведінку функції f поблизу x через вищі похідні можна використати теорему Тейлора

Доведення

Припустимо ми маємо $f^{″}(x)>0$ (доведення для $f^{″}(x)<0$ аналогічне). Згідно з умовою, $f^{\prime }(x)=0$. Тоді

$0<f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-f^{\prime }(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)-0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x+h)}{h}.$

Отже, для достатньо малого h маємо

$\frac{f^{\prime }(x+h)}{h}>0$

що значить $f^{\prime }(x+h)<0$ якщо h < 0 (інтуїтивно, f спадає по тому як наближається до x зліва), і $f^{\prime }(x+h)>0$ якщо h > 0 (інтуїтивно, f зростає як ми йдемо праворуч від x). Тепер з теореми Ферма, $f$ має локальний мінімум у $x$.

Тест угнутості

Споріднене, але відмінне використання другої похідної полягає у визначені чи функція опукла або угнута в точці. Однак вона не надає інформації про точки перегину. Конкретно, двічі диференційовна функція f є опуклою якщо $f^{″}(x)>0$ і угнутою якщо $f^{″}(x)<0$. Зауважте, що якщо $f(x)=x^4-x$, тоді $x=0$ має нульову другу похідну і не є при цьому точкою перегину, тобто друга похідна не забезпечує нас достатньою інформацією для визначення чи є точка перегином.

Див. також

• Тест другої часткової похідної

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Угнутість і тест другої похідної Шаблон:Ref-en