Ряд Гранді

Ряд Гранді — знакопереміжний ряд 1 − 1 + 1 − 1 + …, або:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n.$

Ряд названо на честь італійського католицького священика, філософа, математика й інженера Луїджі Гвідо Гранді, який в 1703 році розглянув його в книзі Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita.

Часткові суми ряду поперемінно рівні 1, 0, 1, 0, … , що означає, що ряд розходиться. Сума ряду за Чезаро дорівнює 1/2.

Основні міркування

Якщо вважати ряд телескопічним:

$(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+0+\cdots =0.$

Проте, після певних перетворень також можна отримати результат 1, що викликає протиріччя:

$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots =1+0+0+0+\cdots =1.$

Таким чином, різної розстановкою дужок у ряді Гранді, можна отримати суму і 0, і 1. (Варіації цієї ідеї мають назву "шахрайство Ейленберга-Мазура" і використовуються в теорії вузлів і алгебрі). Якщо вважати ряд Гранді розбіжною геометричною прогресією, то, використовуючи методи роботи з геометричними прогресіями, можна отримати третє значення, 1/2:

$s=1-1+1-1+\cdots$

отже,

$1-s=1-(1-1+1-1+\cdots )=1-1+1-1+\cdots =s,$

що дає

$s=\frac{1}{2}.$

Проте, у попередніх міркуваннях не враховується визначення «сума ряду». Важливо вміти брати частині ряду в дужки, а також проводити арифметичні дії з рядами. Щодо цього ряду можна дійти двох висновків:

• Ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ... не має суми.
• ... але його сума повинна дорівнювати 1/2.

Сума ряду

У сучасній математиці сума ряду визначається як межа послідовності часткових сум, якщо вона існує. Послідовність часткових сум ряду Гранді: 1, 0, 1, 0, ... Очевидно, вона не збігається ні до якого числа (хоч і має дві граничні точки: 0 і 1). Таким чином, ряд Гранді розбігається.

Посилання

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book