Лінеаризація

Лінеаризáція — (Шаблон:Lang-la — лінійний), один з методів наближеного подання нелінійних систем, при якому дослідження нелінійної системи замінюється аналізом лінійної системи, в деякому розумінні еквівалентної початковій. Методи лінеаризації мають обмежений характер, тобто еквівалентність початкової нелінійної системи і її лінійного наближення зберігається лише при певному «режимі» роботи системи, а якщо система переходить з одного режиму роботи на іншій, то слід змінити і її лінеаризировану модель. Застосовуючи лінеаризацію, можна з'ясувати багато якісних і особливо кількісних властивостей нелінійної системи.

Лінеаризація функції

Лінеаризація функції — це дієвий метод для наближеного обчислення значення функції $y=f(x)$ в будь-якій $x=a,$ беручи за основу нахил функції в $x=b$, за умови неперервності $f(x)$ на $[a,b]$ (або $[b,a]$) і того, що $a$ достатньо близько до $b$. Коротко, лінеаризація обчислює наближене значення функції біля $x=a$.

Наприклад, $\sqrt{4}=2$. Однак, що буде хорошим наближенням для $\sqrt{4.001}=\sqrt{4+.001}$?

Будь-яку функцію $y=f(x)$ можна лінеаризувати якщо вона неперервна біля цікавої нам точки. Для лінеаризації $L_a(x)$ функції $f(x)$ в точці $x=a$ виконується $L_a(a)=f(a)$. Загальною формою рівняння в околі точки $(y_0,x_0)$ при нахилі $M$ є: $y-y_0=M(x-x_0)$.

Використовуючи точку $(a,f(a))$, $L_a(x)$ набуває вигляду $y=f(a)+M(x-a)$. Бо неперервні функції є локально лінійні, найкращим нахилом для підстановки буде нахил дотичної до $f(x)$ у $x=a$.

Наближення для f(x)=x^2 у (x, f(x))

Візуально, на зображені показана дотична лінії для $f(x)$ у $x$. В $x+h$, де $h$ є будь-яким достатньо малим по модулю значенням, $f(x+h)$ дуже близьке до значення на дотичній в точці $(x+h,L(x+h))$.

У результаті отримуємо рівняння для лінеаризації функції в $x=a$:

$y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

Приклад

Щоб знайти $\sqrt{4.001}$, ми можемо використати те, що $\sqrt{4}=2$. Лінеаризацією $f(x)=\sqrt{x}$ в $x=a$ є $y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)$, бо функція $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ визначає нахил функції $f(x)=\sqrt{x}$ в $x$. При $a=4$, лінеаризація в 4 є $y=2+\frac{x-4}{4}$. У цьому випадку $x=4.001$, отже $\sqrt{4.001}$ це приблизно $2+\frac{4.001-4}{4}=2.00025$. Справжнє значення близьке до 2.00024998.

Лінеаризація функції багатьох змінних

Рівняння для лінеаризації функції $f(x,y)$ в точці $p(a,b)$ таке:

$f(x,y)\approx f(a,b)+{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}|}_{a,b}(x-a)+{\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}|}_{a,b}(y-b)$

Узагальнене рівняння для лінеаризації функції багатьох змінних $f(𝐱)$ у точці $𝐩$ таке:

$f(𝐱)\approx f(𝐩)+{\mathrm{\nabla }f|}_{𝐩}\cdot (𝐱-𝐩)$

де $𝐱$ є вектором змінних і $𝐩$ точка в якій ми лінеаризуємо.

Лінеаризація нелінійних систем звичайних диференціальних рівнянь

Лінеаризація дає можливість розглядати нелінійну систему як лінійну в деякому обмеженому сенсі і таким чином аналізувати її поведінку в околі цікавих нам точок. Зазвичай це критичні точки, тобто такі, де $𝐅(𝐱,t)=0.$ Лінеаризація функції це доданок першого порядку з ряду Тейлора біля точки. Отже для системи визначеної рівнянням

$\frac{d𝐱}{dt}=𝐅(𝐱,t)$,

лінеаризовану систему можна записати як

$\frac{d𝐱}{dt}=𝐅({𝐱}_{\mathrm{𝟎}},t)+D𝐅({𝐱}_{\mathrm{𝟎}},t)\cdot (𝐱-{𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$

де ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$ це цікава нам точка і $D𝐅({𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$ це якобіан $𝐅(𝐱)$ evaluated at ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$.

Якщо точка ${𝐱}_{\mathrm{𝟎}}$   критична, то рівняння набуває вигляду

$\frac{d𝐱}{dt}={𝐉}_F({𝐱}_{\mathrm{𝟎}},t)\cdot (𝐱-{𝐱}_{\mathrm{𝟎}})$