Секційна кривина

В рімановій геометрії, секційна кривина є однією із кривин ріманового многовиду. Секційна кривина K(σ_p) залежить від вибору двовимірної площині σ_p в дотичному просторі в точці p. У двовимірному рімановому многовиді секційна кривина збігається з гаусовою кривиною.

Секційна кривина повністю визначається тензором кривини.

Визначення

Для ріманового многовиду та двох лінійно незалежних дотичних векторів X і Y в точці p ($X,Y\in T_{p}M$)

$K(X,Y)=\frac{⟨R(X,Y)Y,X⟩}{⟨X,X⟩⟨Y,Y⟩-⟨X,Y{⟩}^2}$

Тут R — тензор кривини Рімана. В локальних координатахШаблон:Sfn

$K(X,Y)=\frac{R_{ijkl}{T}^{ij}{T}^{kl}}{(g_{ik}{g}_{jl}-g_{il}{g}_{jk})T^{ij}{T}^{kl}},$

де бівектор $T^{nm}=X^n{Y}^m-Y^n{X}^m$.

Секційна кривина залежить від вибору двовимірної площини, але не залежить від векторів X і Y, які визначають цю площину.

Зокрема, якщо X і Y ортонормовані, то

$K(X,Y)=⟨R(X,Y)Y,X⟩$

Теорема Топоногова про порівняння кутів

Нехай в повному рімановому многовиді M всі секційні кривини $K_{\sigma }⩾k=const$. Тоді для будь-якого геодезичного трикутника $\mathrm{△}$ в M знайдеться на $k$-площині такий геодезичний трикутник ${\mathrm{△}}_k$ з тими ж довжинами сторін, що і у трикутника $\mathrm{△}$, у якого кожний з кутів не буде перевищувати відповідного йому кута трикутника $\mathrm{△}$.

Під $k$-площиною мається на увазі двовимірний многовид сталої кривини $k$ — гіперболічна площина, сфера або евклідова площина.

Джерела

• Шаблон:Борисенко.Диференціальна геометрія і топологія