Комп'ютер для операцій з функціями

Комп'ютер для операцій з математичними функціями (на відміну від звичайного комп'ютера) оперує з функціями на апаратному рівні (тобто без програмування цих операцій).

Історія

Обчислювальна машина для операцій з функціями була запропонована і розроблена Карцевим в 1967 році. У число операцій цієї обчислювальної машини входили додавання, віднімання і множення функцій, порівняння функцій, аналогічні операції над функцією і числом, відшукання максимуму функцій, обчислення невизначеного інтеграла, обчислення певного інтеграла від похідної двох функцій, зсув функції з абсциси і т. д. За архітектурою ця обчислювальна машина була (користуючись сучасною термінологією) векторним процесором. У ній використовувався той факт, що багато з цих операцій можуть бути витлумачені як відомі операції над векторами: додавання і віднімання функцій — як додавання і віднімання векторів, обчислення певного інтеграла від похідної двох функцій — як обчислення скалярного добутку двох векторів, зсув функцій з абсциси — як поворот вектора щодо осей координат і т. д. У 1966 році Хмєльник запропонував метод кодування функцій , тобто представлення функції єдиним (для функції в цілому) позиційним кодом. При цьому зазначені операції з функціями виконуються як унікальні машинні операції з такими кодами на єдиному арифметичному пристрої

Позиційні коди функцій одного аргументу

Основна ідея

Позиційний код цілого числа $A$ являє собою запис цифр $\alpha$ цього числа в деякій позиційній системі числення, що має вигляд

$A={\alpha }_0{\alpha }_1\dots {\alpha }_k\dots {\alpha }_n$

Такий код можна назвати лінійним. На відміну від нього позиційний код функції $F(x)$ одного аргументу $x$ має вигляд

$F(x)=\left(\begin{array}{ccc}& & \cdots \\ & & {\alpha }_{22}\cdots {\alpha }_{2k}\cdots \\ & {\alpha }_{11}& {\alpha }_{12}\cdots {\alpha }_{1k}\cdots \\ {\alpha }_{00}& {\alpha }_{01}& {\alpha }_{02}\cdots {\alpha }_{0k}\cdots \end{array}\right)$

тобто є плоским і трикутним, оскільки цифри в ньому утворюють трикутник.

Вказаному позиційному коду цілого числа відповідає сума виду

$A=\sum _{k=0}^n{\alpha }_k{\rho }^k$,.

де $\rho$ — підстава даної системи числення. Вказаному позиційному коду функції одного аргументу відповідає подвійна сума виду

$F(x)=\sum _{k=0}^n\sum _{m=0}^k{\alpha }_{mk}{R}^k{y}^{k-m}(1-y{)}^m$,

де $R$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри $\alpha$, $y$ — певна функція аргументу $x$.

Додавання позиційних кодів чисел пов'язане з передачею перенесення в старший розряд за схемою

${\alpha }_k⟶{\alpha }_{k+1}$.

Додавання позиційних кодів функцій одного аргументу також пов'язане з передачею перенесення за схемою

$\left(\begin{array}{cc}& {\alpha }_{k+1,m+1}\\ \nearrow & \\ {\alpha }_{k,m}⟶& {\alpha }_{k+1,m}\end{array}\right)$.

При цьому одне і теж перенесення передається одночасно в два старших розряди.

R-ті трикутні коди

Трикутний код називається R-м (і позначається як $T{K}_R$), якщо числа ${\alpha }_{mk}$ приймають значення з множини

$D_R=\{-r_1,-r_1+1,\dots ,-1,0,1,\dots ,r_2-1,r_2\},$ де $r_1,r_2\ge 0$ и $R_{}^{}=r_1+r_2+1$.

Наприклад, трикутний код є потрійним $T{K}_3$, якщо ${\alpha }_{mk}\in (-1,0,1)$, і — четверичним $T{K}_4$, якщо ${\alpha }_{mk}\in (-2,-1,0,1)$.

Для R-х трикутних кодів справедливі наступні рівності:

$\left(\begin{array}{cc}& 0\\ \nearrow & \\ aR⟶& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}& a\\ \nearrow & \\ 0⟶& a\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}& a\\ \nearrow & \\ 0⟶& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}& 0\\ \nearrow & \\ aR⟶& -a\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}& 0\\ \nearrow & \\ 0⟶& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}& -a\\ \nearrow & \\ aR⟶& 0\end{array}\right)$,

де a — будь-яке число. існує $T{K}_R$ будь-якого цілого дійсного числа. Зокрема, $T{K}_R(\alpha )=\alpha$. Також існує $T{K}_R$ любої функції виду $y^k$. Зокрема, $T{K}_R(y^2)=(001)$.

Однорозрядне складання

У R-х трикутних кодах полягає в тому, що

• у даному $(mk)$-розряді визначається сума $S_{mk}^{}$ складових розрядів ${\alpha }_{mk},{\beta }_{mk}$ і двох перенесень $p_{m,k-1},p_{m-1,k-1}$, що поступили в цей розряд ліворуч, тобто

$S_{mk}^{}={\alpha }_{mk}{\beta }_{mk}{p}_{m,k-1}{p}_{m-1,k-1}$,

• ця сума представляється у вигляді $S_{mk}^{}={\sigma }_{mk}R{p}_{mk}$, де ${\sigma }_{mk}\in D_R$,
• ${\sigma }_{mk}$ записується в $(mk)$-розряд сумарного коду, а перенесення $p_{mk}$ з цього розряду передається в $(m,k1)$-разряд і $(m1,k1)$-розряд.

Ця процедура описується(як і при однорозрядному складанні чисел) таблицею однорозрядного складання, де мають бути присутніми усі значення доданків ${\alpha }_{mk}\in D_R$ і ${\beta }_{mk}\in D_R$ і усі значення перенесень, що виникають при розкладанні суми $S_{mk}^{}={\sigma }_{mk}R{p}_{mk}$. Така таблиця може бути синтезована при $R>2.$

Нижче приведена таблиця однорозрядного складання при $R=3$:

Smk	TK(Smk)		${\sigma }_{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Однорозрядне віднімання

у R-х трикутних кодах відрізняється від однорозрядного складання тільки тим, що в даному $(mk)$-розряді величина $S_{mk}^{}$ визначається по формулі

$S_{mk}^{}={\alpha }_{mk}-{\beta }_{mk}{p}_{m,k-1}{p}_{m-1,k-1}$.

Однорозрядне ділення на параметр R

у R-х трикутних кодах ґрунтовано на використанні співвідношення

$\left(\begin{array}{cc}& a\\ \nearrow & \\ 0⟶& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}& 0\\ \nearrow & \\ aR⟶& -a\end{array}\right)$,

звідки витікає, що ділення кожного розряду викликає перенесення в два нижні розряди. Отже, розрядний результат в цій операції є сумою частки від ділення цього розряду на R і перенесень з двох верхніх розрядів. Таким чином, при діленні на параметр R

• у даному $(mk)$-розряді визначається сума

$S_{mk}^{}={\alpha }_{mk}/R-p_{m1,k}/R{p}_{m1,k1}$,

• ця сума представляється у вигляді $S_{mk}^{}={\sigma }_{mk}{p}_{mk}/R$, де ${\sigma }_{mk}\in D_R$,
• ${\sigma }_{mk}$ записується в $(mk)$-розряд результуючого коду, а перенесення $p_{mk}$ з цього розряду передається в $(m-1,k-1)$-разряд і $(m-1,k)$-розряд.

Ця процедура описується таблицею однорозрядного ділення на параметр R, де мають бути присутніми усі значення доданків і усі значення перенесень, що виникають при розкладанні суми $S_{mk}^{}={\sigma }_{mk}+p_{mk}$. Така таблиця може бути синтезована при $R>2.$

Ниже приведена таблица одноразрядного ділення на параметр R при $R=3$:

Smk	TK(Smk)		${\sigma }_{mk}^{}$	$p_{mk}^{}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Складання і віднімання

R-х трикутних кодів полягає(як і в позиційних кодах чисел) в послідовно виконуваних однорозрядних операціях. При цьому однорозрядні операції в усіх розрядах кожного стовпця виконуються одночасно.

Множення

R-х трикутних кодів. Множення деякого коду $T{K}_R{\text{'}}^{}$ на $(mk)$-розряд іншого коду $T{K_R}^{\prime }{\text{'}}^{}$ полягає в $(mk)$-зміщенні коду $T{K}_R{\text{'}}^{}$, тобто зрушенні його на k стовпців вліво і на m рядків вгору. Множення кодів $T{K}_R{\text{'}}^{}$ і $T{K_R}^{\prime }{\text{'}}^{}$ полягає в послідовних $(mk)$-зміщеннях коду $T{K}_R{\text{'}}^{}$ і складаннях зрушеного коду $T{K}_R{\text{'}}^{}$ з частковим твором(як і в позиційних кодах чисел).

Диференціювання

R-х трикутних кодів. Похідна функції $F(x)$, визначеною вище

$\frac{\partial F(x)}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial F(x)}{\partial y}$.

Тому диференціювання трикутних кодів функції $F(x)$ полягає у визначенні трикутного коду приватною похідною $\frac{\partial F(x)}{\partial y}$ і множенні його на відомий трикутний код похідної $\frac{\partial y}{\partial x}$. Визначення трикутного коду приватною похідною $\frac{\partial F(x)}{\partial y}$ ґрунтовано на співвідношенні

$\frac{\partial }{\partial x}\left(\begin{array}{ccc}& & 0\\ & 0& {\alpha }_{mk}\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}& & (k-m){\alpha }_{mk}\\ & 0& (k-2m){\alpha }_{mk}\\ 0& 0& (-m){\alpha }_{mk}\end{array}\right)$.

Спосіб диференціювання полягає в організації перенесень з mk- розряду в(m 1, k) -розряд і в(m — 1, k) -розряд, а їх підсумовування в цьому розряді робиться аналогічно однорозрядному складанню.

Кодування і декодування

R-х трикутних кодів. Функція, представлена рядом виду

$F(x)=\sum _{k=0}^n{A}_k{y}^k$,

з цілими коефіцієнтами $A_k$, може бути представлена R-м трикутним кодом, оскільки ці коефіцієнти і функції $y^k$ мають R-ті трикутні коди(про що сказано на початку розділу). З іншого боку, R-й трикутний код може бути представлений вказаним рядом, оскільки будь-який доданок ${\alpha }_{mk}{R}^k{y}^k(1-y{)}^m$ у позиційному розкладанні функції(що відповідає цьому коду) може бути представлено таким же рядом.

Укорочення

R-х трикутних кодів. Так називається операція зменшення числа не нульових стовпців. Необхідність укорочення виникає при виникненні перенесень за розрядну сітку. Укорочення полягає в діленні на параметр R. При цьому усі коефіцієнти уявного кодом ряду зменшуються в R разів, а дробові частини цих коефіцієнтів відкидаються. Зникає також старший член ряду. Таке скорочення допустиме, якщо відомо, що ряди функцій сходяться. Укорочення полягає в послідовно виконуваних однорозрядних операціях ділення на параметр R. При цьому однорозрядні операції в усіх розрядах кожного рядка виконуються одночасно, а перенесення з молодшого рядка відкидаються.

Масштабний коефіцієнт

R-й трикутний код супроводжується масштабним коефіцієнтом M, аналогічним порядку в числі з рухомою комою. Коефіцієнт M дозволяє представити усі коефіцієнти кодованого ряду у вигляді цілих чисел. Коефіцієнт M множиться на R при укороченні коду. При складанні коефіцієнти M вирівнюються, для чого необхідно укорочувати один із складових кодів. При множенні коефіцієнти M також множаться.

Позиційні коди функцій багатьох аргументів

Мал. 2 Пірамідальний код функції двох аргументів

Позиційний код функції двох аргументів зображений на мал. 1. Йому відповідає потрійна сума виду

$F(x,v)=\sum _{k=0}^n\sum _{m1=0}^k\sum _{m2=0}^k{\alpha }_{m1,m2,k}{R}^k{y}^{k-m1}(1-y{)}^{m1}{z}^{k-m2}(1-z{)}^{m2}$,

де $R$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри ${\alpha }_{m1,m2,k}$, а $y(x),z(v)$ — певні функції аргументів $x,v$ відповідно. На мал. 1 вузли відповідають цифрам ${\alpha }_{m1,m2,k}$, а в кухлях показані значення індексів $m1,m2,k$ відповідної цифри. Позиційний код функції двох аргументів називається пірамідальним. Позиційний код називається R-м(і позначається як $P{K}_R$), якщо числа ${\alpha }_{m1,m2,k}$ набувають значень з множини $D_R$. При складанні кодів $P{K}_R$ перенесення поширюється в чотири розряди і тому $R\ge 7$.

Позиційному коду функції декількох аргументів відповідає сума виду

$F(x1\dots ,x_i\dots ,x_a)=\sum _{k=0}^n\sum _{m1=0}^k\dots \sum _{m_a=0}^k({\alpha }_{m1\dots ,m_a,k}{R}^k\prod _{i=1}^a(y_i^{k-m_i}(1-y_i{)}^{m_i}))$,

Файл:GipPirKod.jpg

Мал. 1 Гіперпірамідальний код функції трьох аргументів

де $R$ — ціле позитивне число, кількість значень цифри ${\alpha }_{m1\dots ,m_a,k}$, а $y_i(x_i)$ — певні функції аргументів $x_i$. Позиційний код функції декількох аргументів називається гіперпірамідальним. На мал. 2 показаний для прикладу позиційний гіперпірамідальний код функції трьох аргументів. У нім вузли відповідають цифрам ${\alpha }_{m1,m2,m3,k}$, а в кухлях показані значення індексів $m1,m2,m3,k$ відповідної цифри. Позиційний гіперпірамідальний код називається R-м(і позначається як $GP{K}_R$), якщо числа ${\alpha }_{m1\dots ,m_a,k}$ набувають значень з множини $D_R$. При складанні кодів $GP{K}_R$ перенесення поширюється в a-мерный куб, що містить $2^a$ розрядів і тому $R\ge (2^{a-1}-1)$.