Рівняння в повних диференціалах

Шаблон:Диференціальні рівняння Рівняння в повних диференціалах (Шаблон:Lang-en) — різновид звичайного диференціального рівняння, який широко використовується в фізиці і інженерії.

Визначення

Маємо однозв'язну область і відкриту підмножину D в R² і дві неперервні в D функції I та J, тоді неявне звичайне диференціальне рівняння першого порядку у вигляді

$I(x,y)\mathrm{d}x+J(x,y)\mathrm{d}y=0,$

називають Рівняння в повних диференціалах, якщо існує неперервно-диференційовна функція F, яку звуть функція потенціалу, така що

$\frac{\partial F}{\partial x}=I$

і

$\frac{\partial F}{\partial y}=J.$

Назва «рівняння в повних диференціалах» стосується повної похідної функції. Для функції $F(x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n)$, повна похідна щодо $x_0$ така

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}{x}_0}=\frac{\partial F}{\partial x_0}+\sum _{i=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}{x}_0}.$

Приклад

Функція $F:{ℝ}^2\to ℝ$ отримується з:

$F(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)+c$

І є функцією потенціалу для диференціального рівняння:

$x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y=0.$

Існування функції потенціалу

У фізичних застосуваннях функції I та J зазвичай не тільки неперервні, але й неперервно-диференційовні. Теорема Шварца надає нам необхідний критерій існування функції потенціалу. Для диференціальних рівнянь на однозв'язній множині критерій також достатній і ми отримуємо така теорему: Диференціальне рівняння у формі:

$I(x,y)\mathrm{d}x+J(x,y)\mathrm{d}y=0,$

де I та J неперервно-диференційовні на однозв'язній і відкритій підмножині D в R², тоді функція потенціалу F існує тоді і тільки тоді

$\frac{\partial I}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial J}{\partial x}(x,y).$

Джерела

• Шаблон:Самойленко.Перестюк.Парасюк.Диференціальні рівняння
• Шаблон:Кривошея.Перестюк.Бурим.Диференціальні та інтегральні рівняння
• Рівняння в повних диференціалах на math24.net Шаблон:Ref-en