Числа алеф

Алеф-нуль, найменше трансфінітне натуральне число

В теорії множин (дисципліна математики), числа Алеф — множина чисел, що використовуються для представлення потужності (розміру) нескінченних множин. Названі за символом, що використовується для їх позначення – літери івриту алеф ($\mathrm{\aleph }$).

Потужність множини натуральних чисел – ${\mathrm{\aleph }}_0$ (читається «алеф-нуль»), наступне, більше, кардинальне число - ${\mathrm{\aleph }}_1$, потім - ${\mathrm{\aleph }}_2$ і так далі. Продовжуючи таким чином, можна визначити кардинальне число ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ для кожного порядкового числа α.

Концепція числа сходить до Георга Кантора, який визначив поняття потужності і виявив, що нескінченні множини можуть мати різні потужності.

Числа алеф відрізняються від нескінченності (∞), що часто зустрічається у алгебрі та математичному аналізі. Алеф визначає розмірність нескінченних множин; нескінченність, з іншої сторони, зазвичай, визначається як крайня границя числової прямої (використовується до функцій чи послідовностей, що «розбігаються до нескінченності» або «нескінченно ростуть»), або як крайня точка розширеної числової прямої.

Алеф-нуль

${\mathrm{\aleph }}_0$ є потужністю усіх натуральних чисел, та є першим нескінченим кардиналом. Множина має потужність ${\mathrm{\aleph }}_0$ тільки якщо це злічена нескінченна множина, яку можна поставити у пряму бієкцію, тобто «один-до-одного», з множиною натуральних чисел. До таких множин відносяться множина простих чисел, множина усіх раціональних чисел, множина алгебраїчних чисел, множина бінарних рядків усіх скінченних довжин і множина усіх скінченних підмножин будь-якої зліченної нескінченної множини.

Потужність зліченної множини ${\mathrm{\aleph }}_0$ є найменшим трансфінітним кардинальним числом. Це означає, що будь-яка нескінченна множина A має принаймні одну зліченну частину (тобто зліченну підмножину).

Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m·${\mathrm{\aleph }}_0={\mathrm{\aleph }}_0$ та ${\mathrm{\aleph }}_0^m={\mathrm{\aleph }}_0$.

Алеф-один

${\mathrm{\aleph }}_1$ є потужністю множини всіх злічених порядкових чисел, яка називається ω₁, або іноді Ω. Ця ω₁ сама по собі є порядковим номером, більшим, за всі зліченні множини, тобто ця множина є незліченною. Таким чином ${\mathrm{\aleph }}_1$ відрізняється від ${\mathrm{\aleph }}_0$. З визначення випливає, що не існує кардинального числа між ${\mathrm{\aleph }}_0$ та ${\mathrm{\aleph }}_1$.

Для будь-якого скінченного числа m ≥ 1 виконуються рівності: m·${\mathrm{\aleph }}_1={\mathrm{\aleph }}_1$·${\mathrm{\aleph }}_1={\mathrm{\aleph }}_1^m={\mathrm{\aleph }}_1$^${\mathrm{\aleph }}_0={\mathrm{\aleph }}_1$, де m≥1 – ціле.

Див. також

• Кардинальне число
• Потужність множини