Симедіана

Шаблон:Легенда-лінія Шаблон:Легенда-лінія Шаблон:Легенда-лінія

Симедіана Шаблон:Sfn Шаблон:Rp — чевіана трикутника, промінь якої симетричний променю медіани щодо бісектриси внутрішнього кута, проведеної з тієї ж вершини.

Тобто симедіана трикутника є відрізком, що ізогонально спряжений до його медіани.

Симедіана рівнобедреного трикутника, що проведена до його основи, збігається з його медіаною, бісектрисою та висотою.

Симедіана прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута на його гіпотенузу, збігається з його висотою. Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

Властивості

• Довжину симедіани можна обрахувати за формулою:Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$$AS=\frac{bc}{b^2+c^2}\cdot \sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$$

де $a$ — сторона трикутника, протилежна вершині $A$, на яку проведено симедіану;
$b;c$ — сторони трикутника, що знаходяться обабіч симедіани.

• Відрізки, на які симедіана ділить протилежну сторону, пропорційні квадратам прилеглих сторін.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
• Симедіана трикутника є геометричним місцем точок, для яких відстані до сторін трикутника пропорційні довжинам цих сторін.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
• Симедіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається точкою Лемуана і позначається K або L .Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
• Сума квадратів відстаней від точки на площині до сторін трикутника мінімальна, коли ця точка є точкою Лемуана.
• Відстані від точки Лемуана до сторін трикутника пропорційні довжинам сторін.
• Єдина точка, яка є центроїдом свого педального трикутника.
• Продовження симедіан проходять через відповідні вершини тангенціального трикутника.
• Антипаралелі трикутника діляться навпіл відповідними симедіанами.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
• Антипаралелі, що проведені через точку основи симедіани, рівні. Більш того, антипаралелі, що проходять через довільну точку симедіани, також рівні.Шаблон:Sfn Шаблон:Rp
  

Антипаралелі, що проходять через точку Лемуана (точку перетину симедіан), рівні і в точці перетину діляться навпіл.
Дотичні до описаного кола трикутника в двох його вершинах, перетинаються на симедіані, проведеної з третьої вершини.

Зовнішні симедіани трикутника

Відрізок дотичної до описаного кола трикутника, що проведена в його вершині до її точки перетину з протилежною стороною трикутника, називають зовнішньою симедіаною трикутника.

Її довжину можна обрахувати за формулою: Шаблон:Sfn Шаблон:Rp

$$AD=\frac{abc}{b^2-c^2}$$

Джерела

• Шаблон:Книга

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Symmedian and Antiparallel на сайті cut-the-knot
• Symmedian and 2 Antiparallels на сайті cut-the-knot
• Symmedian and the Tangents на сайті cut-the-knot
• An interactive Java applet for the symmedian point
• Isogons and Isogonic Symmetry

Шаблон:Трикутник