Струмінь (математика)

Шаблон:Інші значення Шаблон:Вичитати Струмінь відображення $f$ на многовиді $M$ — це операція, що співставляє кожній точці $x$ із $M$ деякий поліном (обрізаний поліном Тейлора $f$ в точці $x$). З точки зору теорії струменів ці поліноми розглядаються не як поліноміальні функції, а як абстрактні алгебричні багаточлени, що залежать від точки многовиду.

Два відображення $f,\tilde{f}:ℝ\to M$ мають однаковий $k$-струмінь у точці $x\in ℝ,$ якщо $f(x)=\tilde{f}(x)$ та якщо у будь-якій локальній карті у окілі точки $f(x)$ розклади у ряд Тейлора функцій $f(x)$ та $\tilde{f}(x)$ збігаються до порядку $k$ включно. Клас еквівалентності, який визначається відображенням $f$, позначається $(j^{k}f)(x).$ Сукупність усіх $k$-струменів утворює многовид струменів $J^k(M,ℝ)$, де координата на $ℝ$ й довільна локальна карта $y^{\alpha }$ на $M$ визначають деяку систему координат на $J^k(M,ℝ).$

Многовидом 1-струменів $J^1(B^n,ℝ)$ функцій на $B^n$ називається многовид $M^{2n+1}=T^{*}{B}^n\times ℝ$ із контактною 1-формою $dz-pdq$ (де $pdq$ — форма дії на фазовому просторі $T^{*}{B}^n,$ a $z$ — координата). Наприклад, якщо $B^n=S^1$ є окружністю, то многовид $J^1(B^n,ℝ)$ є дифеоморфним повноторію (внутрішності $S^1\times ℝ$ двохвимірного тору). На цьому многовиді визначені координати ($q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi ),p,z$).Лежандровим підмноговидом ${𝔐}^n\subset M^{2n+1}$ є підмноговид, на якому контактна 1-форма перетворюється на нуль. Наприклад, будь-якій функції $g:B^n\to ℝ$ відповідає лежандровий переріз ${𝔐}^n$ розшарування $J^1(B_n,ℝ)\to B^n$, задане формулами

$p=\frac{\partial g}{\partial q},z=g(q).$

Многовид $𝔐$ залежить лише від функції $g,$ а не від вибору локальної карти; ця формула зіставляє точці $q\in B^n$ кодотичний вектор $dg$ та число $g(q).$ Вкладений лежандровий підмноговид ${𝔐}^n\subset J^1(B^n,ℝ)$ є квазіфункцією на $B^n$ якщо він належить компоненті зв'язності нульового перерізу ($p=0,z=0$) у просторі вкладених лежандрових підмноговидів многовиду 1-струменів функцій на $B^n.$ Проєкція квазіфункції з простору 1-струменів у фазовий простір (при натуральному відображенні забування значення функції) є точним лагранжевим підмноговидом у $T^{*}{B}^n.$ Цей підмноговид може виявитися не вкладеним, а лише зануреним у $T^{*}{B}^n$ (самопересічним). Усілякий точний лагренжевий підмноговид $L^n$, занурений до $T^{*}{B}^n,$ отримується цим способом з деякого лежандрового многовиду ${𝔐}^n\in J^1(B^n,ℝ)$ (який є визначеним із точністю до зсувів осі $z,$ якщо $L^n$ є зв'язним). Однак, ${𝔐}^n$ може бути лише зануреним (самопересічним у (2n+1)-вимірному многовиді струменів $J^1(B^n,ℝ)$).

Теорема Чеканова

Нехай $E=M\times W,𝔐$ — $E$-квазіфункція. Тоді число точок самоперетину проєкції $𝔐$ у $T^{*}M$ загального положення не менше, ніж $\frac{1}{2}[\sum b_i(M)(\sum b_i(W){)}^2-\sum b_i(𝔐)].$

Квазіфункція на окружності $B^n=S^1$ має не менше двох квазікритичних точок. Проєкції усіх лежандрових вузлів із компоненти, яка містить $𝔐$ у $T^{*}{S}^1,$ мають принаймні три точки самоперетину із врахуванням кратності. Достатньо у процесі гомотопії припустити один самоперетин, і можна отримати лежандровий многовид ${𝔐}_1,$ гомотопний у класі лежандрових вкладень многовиду ${𝔐}_2,$ у якого одна точка самоперетину проєкції у $T^{*}{S}^1.$

Струмені на еклідовому просторі

Аналітичне означення

Струмені і простори струменів можуть бути означені, використовуючи принципи математичного аналізу. Означення можна узагальнити на гладкі відображення між банаховими просторами, аналітичними функціями у дійсній або комплексній області, на $p$-адичний аналіз тощо.

Нехай $X,Y$ — гладкі многовиди. Гладкі відображення $f,g:X\to Y$ є $p$-еквівалентними у точці $x\in X,$ якщо $f(x)=g(x),$ та у цій точці частинні похідні до порядку $p$ включно є однаковими. Це визначення є інваріантним відносно вибору локальних координат як у $X,$ так й у $Y,$ тому воно визначає геометричний об'єкт — струмінь відображення. Конкретніше, струмінь порядку $p$, який задається відображенням $f,$ є класом еквівалентності відображень по відношенню $j_x^{p}f.$ Точка $x$ є початком струменя, а її образ $f(x)$ — кінцем струменя. Множина $p$-струменів, імерсійованих до $Y$ з початком $x$ та кінцем $y$ позначається $J_{x,y}^p(X,Y).$

Множина $p$-струменів утворює диференціальну групу порядку $p$ у точці $0\in {ℝ}^n$ усеможливих дифеоморфізмів окілів цієї точки, залишаючих її нерухомою. Таким чином, $D_n^p$ є групою із добутком, який визначається композицією струменів:

$j_0^p(g)\circ j_0^p(h)\stackrel{def}{=}{j}_0^p(g\circ h).$

Ідемпотент цієї групи є струменем тотожного відображення. Зворотним елементом до $j_0^p(g)$ є $0\in {ℝ}^n$-струмінь дифеоморфізму, зворотного до $g.$ Репером $e_x^p$ порядку $p$ у точці $x$ многовиду $M$ є $p$-струмінь $j_0^p(f)$ дифеоморфізму $f:({ℝ}^n,0)\to (M,x),$ де $({ℝ}^n,0)$ та $(M,x)$ — окіли точок $0$ та $x$ відповідно.

Многовид $H^p(M)$ усіх $p$-реперів наділений структурою головного розшарування над базою $M$ із канонічною проєкцією ${\pi }_p:H^p(M)\to M,$ де ${\pi }_p(e_x^p)=x,$ та праводіючою диференціальною групою $D_n^p$ порядку $p$. Стандартні координати у ${ℝ}^n$ породжують глобальну карту на $D_n^p$ із координатами

$(u_j^i(l^p)),u_{jk}^i,...,u_{j_1...j_p}^i(l^p),l^p\in D_n^p,$

симетричними по нижнім індексам.

Нехай $T^2{ℝ}^n=J_{0,0}^2(ℝ,{ℝ}^n).$ На асоційованому розшаруванні визначена лівостороння дія групи $D_n^2$ за законом композиції 2-струменів:

На декартовому добутку $P^{2}M\times T^2{ℝ}^n$ визначена правостороння дія цієї групи:

$(e_x^2,\xi )\cdot d^2=(e_x^2\cdot d^2,(d^2{)}^{-1}\cdot \xi ).$

Многовид $E$ орбіт відносно даної дії є розшаруванням над $M,$ асоційованим із $P^{2}M,$ канонічна проєкція $\lambda$ з $P^{2}M\times T^2{ℝ}^n$ на $E$ визначається за законом

а дія групи $D_n^2$ на розшаруванні $E$ визначається як

$⟨e_x^2,\xi ⟩\cdot l^2=⟨e_x^2\cdot l^2,\xi ⟩.$

Простір $E$ ототожнюється із многовидом 2-швидкостей на $M$

$T^{2}M=\bigcup _{x\in M}{J}_{0,x}^2(ℝ,M)$

посередництвом дифеоморфізму $\mu :E\to T^{2}M,⟨e_x^2,\xi ⟩\mapsto e_x^2\circ \xi .$

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Нп, Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians, arXiv: 0908.1886