Двоїстість Пуанкаре

У математиці, теорема двоїстості Пуанкаре, що названа на честь французького математика Анрі Пуанкаре, є основним твердженням про структуру груп гомологій та когомологій многовиду. Вона стверджує, що всі k-ті групи когомологій n-вимірного орієнтовного замкнутого многовиду M ізоморфні (n − k)-м групам гомологій M:

$H^k(M)\cong H_{n-k}(M).$

Історія

Початковий варіант теореми двоїстості був сформульований Пуанкаре без доведення в 1893 році. Когомології були винайдені лише через два десятиліття після його смерті, тому ідею двоїстості він сформулював у термінах чисел Бетті: k-те та (n − k)-те числа Бетті замкнутого (компактного без краю) орієнтовного n-вимірного многовиду рівні:

$b_k(M)=b_{n-k}(M).$

Пізніше Пуанкаре дав доведення цієї теореми у термінах двоїстих триангуляцій.

Сучасне формулювання

Сучасне формулювання двоїстості Пуанкаре включає поняття гомологій і когомологій: якщо M — замкнутий орієнтовний n-вимірний многовид, k — ціле число, то існує канонічний ізоморфізм k-ї групи когомологій H^k(M) в (n − k)-ю группу гомологий H_n − k(M):

$D:H^k(M)\to H_{n-k}(M)$.

Цей ізіморфізм визначається фундаментальним класом многовиду $[M]$:

$D(\alpha )=[M]⌢\alpha$,

де $\alpha \in H^k(M)$ — коцикл, $⌢$ обозначає $⌢$-множення гомологічних та когомологічних класів. Тут наведено гомології і когомології з коефіцієнтами в кільці цілих чисел, але ізоморфізм має місце і для довільного кільця коефіцієнтів.

Для некомпактних орієнтовних многовидів когомології в цій формулі необхідно замінити на когомології з компактним носієм.

Для $k<0$ групи гомологій та когомологій, за означенням нульові, відповідно, згідно з двоїстістю Пуанкаре, групи гомологій і когомологій при $k>n$ на n-вимірному многовиді є нульовими.

Білінійне парування

Нехай M замкнутий орієнтовний многовид, позначемо через $\tau H_k(M)$ кручення групи $H_k(M)$, і $f{H}_k(M)=H_k(M)/\tau H_k(M)$ її вільну частину; всі групи гомологій беруться з цілими коефіцієнтами. Існують білінійні відображення:

$f{H}_k(M)\otimes f{H}_{n-k}(M)\to \mathbb{Z}$

і

$\tau H_k(M)\otimes \tau H_{n-k-1}(M)\to \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$

(Здесь $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ — адитивна факторгрупа групи раціональних чисел за цілими.)

Перша форма називається індексом перетину, друга — коефіцієнтом зачеплення. Індекс перетину визначає невироджену двоїстість між вільним частинами груп $H_k(M)$ і $H_{n-k}(M)$, коефіцієнт зачеплення — між крученнями груп $H_k(M)$ і $H_{n-k-1}(M)$.

Твердження про те, що ці білінійні парування визначають двоїстість, означає, що відображення

$f{H}_k(M)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbb{Z}}(f{H}_{n-k}(M),\mathbb{Z})$

і

$\tau H_k(M)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathbb{Z}}(\tau H_{n-k-1}(M),\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$

є ізоморфізмами груп.

Цей результат є наслідком двоїстості Пуанкаре $H_k(M)\simeq H^{n-k}(M)$ і теореми про універсальні коефіцієнти, що дають рівності $f{H}^{n-k}(M)\equiv \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(H_{n-k}(M);\mathbb{Z})$ и $\tau H^{n-k}(M)\equiv \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}(H_{n-k-1}(M);\mathbb{Z})\equiv \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\tau H_{n-k-1}(M);\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$. Таким чином, групи $f{H}_k(M)\simeq f{H}_{n-k}(M)$ є ізоморфними, хоча і не існує природного ізоморфізму, і, аналогічно, $\tau H_k(M)\simeq \tau H_{n-k-1}(M)$.

Література

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989