Похідна Лі

Похідна Лі тензорного поля $Q$ за напрямком векторного поля $X$ — головна лінійна частина приросту тензорного поля $Q$ при його перетворенні, яке індуковане локальною однопараметричною групою дифеоморфізмів многовиду, що породжена полем $X$.

Зазвичай позначається ${ℒ}_{X}Q$.

Означення

Аксіоматичне

Похідна Лі повністю означається наступними своїми властивостями. Таке означення найбільш зручне для практичних обчислень, але вимагає доведення існування.

• Похідна Лі ${ℒ}_{X}f$ від скалярного поля $f$ є похідною $f$ за напрямком $X$.

  ${ℒ}_{X}f=Xf.$

• Похідна Лі ${ℒ}_{X}Y$ від векторного поля $Y$ є дужка Лі векторних полів.

  ${ℒ}_{X}Y=[X,Y].$

• Для довільних векторних полів 1-форми $\alpha$ виконується рівність

  $({ℒ}_X\alpha )(Y)=(d\alpha )(X,Y)+Y\alpha (X)=X\alpha (Y)-\alpha ([X,Y]).$

• (правило Лейбніца) Для довільних тензорних полів S і T, виконується

  ${ℒ}_X(S\otimes T)=({ℒ}_{X}S)\otimes T+S\otimes ({ℒ}_{X}T).$

У явному виді, якщо T є тензорним полем типу Шаблон:Nowrap і α¹, α², ..., α^q є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y₁, Y₂, ..., Y_p є гладкими векторними полями тоді похідна Лі T по напрямку X є тензорним полем того ж типу, що задається як

$({ℒ}_{Y}T)({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,Y_1,Y_2,\dots )=Y(T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,Y_1,Y_2,\dots ))$

$-T({ℒ}_X{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,Y_1,Y_2,\dots )-T({\alpha }_1,{ℒ}_X{\alpha }_2,\dots ,Y_1,Y_2,\dots )-\dots$

$-T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{ℒ}_X{Y}_1,Y_2,\dots )-T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,{ℒ}_X{Y}_2,\dots )-\dots$

Через потік

Нехай $M$ — $n$-вимірний гладкий многовид і $X$ — векторне поле на $M^n$.

Розглянемо потік ${\mathrm{\Gamma }}_X^t:M\to M$ за $X$, що визначається співвідношенням: $\frac{d}{dt}{\mathrm{\Gamma }}_X^t(p)=X_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(p)}.$ Для кожної точки $p\in M$ існує такий окіл $m\in U\subset M$ і число $b\in ℝ,$ що потік ${\mathrm{\Gamma }}_X^t$ є визначений і взаємно однозначний для всіх $n\in U$ і $t\in (-b,b)$ і також для кожного такого t відображення ${\mathrm{\Gamma }}_X^t$ буде дифеоморфізмом із U. Також якщо $t,s,t+s\in (-b,b)$ то ${\mathrm{\Gamma }}_X^{(t+s)}={\mathrm{\Gamma }}_X^t\circ {\mathrm{\Gamma }}_X^s$ тобто потік задає однопараметричну сім'ю локальних дифеоморфізмів.

Нехай тепер T є тензорним полем типу Шаблон:Nowrap і α¹, α², ..., α^q є гладкими кодотичними векторними полями (диференціальними 1-формами), а Y₁, Y₂, ..., Y_p є гладкими векторними полями.

Розглянемо взаємнообернені дифеоморфізми ${\mathrm{\Gamma }}_X^t$ і $({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}$ задані за умов вказаних вище. Якщо $m\in U$ то $T({\mathrm{\Gamma }}_X^t(m))$ є тензором типу Шаблон:Nowrap на дотичному просторі многовида у точці ${\mathrm{\Gamma }}_X^t(p).$ За допомогою дифеоморфізмів ${\mathrm{\Gamma }}_X^t$ і $({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}$ цей тензор можна «переслати» на дотичний простір у точці m. А саме зворотний тензора щодо відображення тензора типу Шаблон:Nowrap щодо дифеоморфізму ${\mathrm{\Gamma }}_X^t$ (позначається $({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{*}T$) називається тензор, що у точці p є рівним:

$({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{*}T({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_q,Y_1,\dots ,Y_p{)}_m=T((({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}{)}^{*}{\alpha }_1,\dots ,(({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}{)}^{*}{\alpha }_q,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_1,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}.$

У цьому виразі нижні індекси у кінці кожної сторін вказують у яких точках розглядаються відповідні тензори, $d{\mathrm{\Gamma }}_X^t$ позначає диференціал відображення, а $(({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}{)}^{*}$ — зворотне відображення диференційних форм при відображенні ${\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1},$ тобто для довільної диференціальної форми $\alpha$ у точці m і вектора Y у точці ${\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)$ за означенням $(({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}{)}^{*}\alpha (Y)=\alpha (d({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}).$

Похідна Лі може бути означена як

${ℒ}_{X}T=\frac{d}{dt}({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{*}T{|}_{t=0}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{*}{T}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}-T_m}{t}.$

Еквівалентність означень

Якщо тензорне поле є скалярним полем, тобто гладкою функцією f, то $({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{*}f=f({\mathrm{\Gamma }}_X^t)$ і $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f({\mathrm{\Gamma }}_X^t)-f(m)}{t}=Xf,$ що доводить еквівалентність у цьому випадку.

Якщо тензорне поле є векторним полем Y, то ${ℒ}_{X}Y=[X,Y]$ і еквівалентність одержується із еквівалентності різних означень дужок Лі у статті дужка Лі векторних полів.

Доведемо також еквівалентність у випадку коваріантних тензорів (зокрема диференціальних форм). Для цього спершу зауважимо, що за означенням для будь-якого дифеоморфізма $\phi :M\to M$ для будь якого p-коваріантного тензора $T$ і векторних полів $Y_1,\dots ,Y_p$ зворотне відображення коваріантного тензора задовольняє рівності ${\phi }^{*}T(Y_1,\dots ,Y_p{)}_m=T(d\phi Y_1,\dots ,d\phi Y_p){)}_{{\phi }_m}.$

Звідси:

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{*}{T}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}(Y_1,\dots ,Y_p)-T_m(Y_1,\dots ,Y_p)}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{T(d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_1,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}-T(Y_1,\dots ,Y_p){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}}{t}+\underset{t\to 0}{\lim }\frac{T(Y_1,\dots ,Y_p){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}-T(Y_1,\dots ,Y_p{)}_m}{t}.$

Другий доданок у попередньому виразі за означення є рівним $X(T(Y_1,\dots ,Y_p))$ у точці m.

Перший доданок можна записати як:

$\begin{array}{c}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{T(d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_1,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}-T(Y_1,\dots ,Y_p){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}}{t}=\\ \underset{t\to 0}{\lim }\frac{T(d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_1,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}-T(Y_1,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_2,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p)){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}}{t}+\\ \underset{t\to 0}{\lim }\frac{T(Y_1,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_2,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p)){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}-T(Y_1,Y_2,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_3,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p)){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}}{t}+\\ \dots +\\ \underset{t\to 0}{\lim }\frac{T(Y_1,Y_2,\dots ,Y_{p-1},d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p)){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}-T(Y_1,Y_2,\dots ,Y_p)){)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}}{t}=\\ -\sum _{i=1}^{p}T(Y_1,\dots ,[X,Y_i],\dots ,Y_p).\end{array}$

Остання рівність одержується із того, що $\frac{T(Y_1,Y_2,\dots ,Y_{i-1},d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_i,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}-T(Y_1,Y_2,\dots ,Y_{i-1},Y_i,\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}}{t}=T{(Y_1,Y_2,\dots ,Y_{i-1},\frac{d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_i-Y_i}{t},\dots ,d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_p)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t(m)}.$Тоді, зважаючи на те, що всі векторні поля $(Y_i{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t}$, диференціали $d{\mathrm{\Gamma }}_X^t$ і тензори $T_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t}$ неперервно залежать від t, то границі $(Y_i{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t}$ і $d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_i$ при $t\to 0$ є рівними $(Y_i{)}_m,$ а границя $T_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t}$ є рівною $T_m.$

Окрім того $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{(d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_i-Y_i{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t}}{t}=\underset{t\to 0}{\lim }(d{\mathrm{\Gamma }}_X^t){\left(\frac{Y_i-(d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}{Y}_i}{t}\right)}_m=-\underset{t\to 0}{\lim }(d{\mathrm{\Gamma }}_X^t)[X,Y_i{]}_m,$

де остання рівність випливає із вказаної вище властивості для дужки Лі. Оскільки $d{\mathrm{\Gamma }}_X^0$ є одиничним перетворенням, а $d{\mathrm{\Gamma }}_X^t$ є неперервною по сукупності усіх аргументів, то остаточно $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{(d{\mathrm{\Gamma }}_X^t{Y}_i-Y_i{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t}}{t}=-[X,Y_i{]}_m.$

Разом одержується вираз для похідної Лі.

Зокрема для 1-форми $\alpha$ звідси відразу випливає, що $({ℒ}_X\alpha )(Y)=X\alpha (Y)-\alpha ([X,Y]).$

Для загального тензора доведення аналогічне лише застосовується більш загальна рівність ${\phi }^{*}T({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_q,Y_1,\dots ,Y_p{)}_m=T(({\phi }^{-1}{)}^{*}{\alpha }_1,\dots ,({\phi }^{-1}{)}^{*}{\alpha }_q,d\phi Y_1,\dots ,d\phi Y_p){)}_{{\phi }_m}.$

Після цього як і вище розписується сума і використовуються вказані вище властивості для векторів і 1-форм. В порівнянні із попереднім частковим випадком єдиною принциповою відмінністю є те, що потрібно знайти границю $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{(({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}{)}^{*}{\alpha }_i-{\alpha }_i{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t}}{t}.$ Із доведеного вище, а також властивостей $(({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}{)}^{*}$ одержується, що $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{(({\mathrm{\Gamma }}_X^t{)}^{-1}{)}^{*}{\alpha }_i-{\alpha }_i{)}_{{\mathrm{\Gamma }}_X^t}}{t}=-{ℒ}_X\alpha .$ В іншому доведення аналогічне до попереднього.

Вираз у координатах

${ℒ}_{\xi }f={\xi }^k{\partial }_{k}f$, де $f$ — скаляр.

${ℒ}_{\xi }y={\xi }^k{\partial }_k{y}^i-y^k{\partial }_k{\xi }^i$, де $y$ — вектор, а $y^i$ — його компоненти.

${ℒ}_{\xi }\omega ={\xi }^k{\partial }_k{\omega }_i+{\omega }_k{\partial }_i{\xi }^k$, де $\omega$ — 1-форма, а ${\omega }_i$ — її компоненти.

${ℒ}_{\xi }g={\xi }^k{\partial }_k{g}_{ij}+{\partial }_i{\xi }^k{g}_{kj}+{\partial }_j{\xi }^k{g}_{ik}$, де $g$ — 2-форма (метрика), а $g_{ij}$ — її компоненти.

Похідна Лі для тензорного поля у неголономному репері

Нехай тензорне поле К типу (p, q) задано в неголономному репері $\{e_{\alpha }\}$, тоді його похідна Лі вздовж векторного поля Х задається наступною формулою:

$({ℒ}_{X}K{)}_{(\beta )}^{(\alpha )}=X{K}_{(\beta )}^{(\alpha )}-\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}{P}_{*}^{*}\}$,

де $(\alpha )=({\alpha }_1...{\alpha }_p),(\beta )=({\beta }_1...{\beta }_q)$, і введені наступні позначення:

$\{K_{(\beta )}^{(\alpha )}{P}_{*}^{*}\}=\sum _{s=1}^p{K}_{(\beta )}^{{\alpha }_1...\sigma ...{\alpha }_p}{P}_{\sigma }^{{\alpha }_s}-\sum _{s=1}^q{K}_{{\beta }_1...\sigma ...{\beta }_q}^{(\alpha )}{P}_{{\beta }_s}^{\sigma }$,

$P_{\beta }^{\alpha }=e_{\beta }{\xi }^{\alpha }-R_{\sigma \beta }^{\alpha }{\xi }^{\sigma }$

$R_{\alpha \beta }^{\sigma }{e}_{\sigma }=[e_{\alpha },e_{\beta }]$ — об’єкт неголономності.

Властивості

• ${ℒ}_X(s)$ $ℝ$-лінійно за $X$ і за $s$. Тут $s$ — довільне тензорне поле.
• Похідна Лі — диференціювання на кільці тензорних полів.
• На супералгебрі зовнішніх форм похідна Лі є диференціюванням і однорідним оператором ступеня 0.
• Нехай $v$ і $u$ — векторні поля на многовиді, тоді

$[{ℒ}_v,{ℒ}_u]={ℒ}_v{ℒ}_u-{ℒ}_u{ℒ}_v$

є диференціюванням алгебри $C^{\mathrm{\infty }}(M)$, тому існує векторне поле $[v,u]$, що називається дужкою Лі векторних полів (також дужка Пуассона або комутатор), для якого

${ℒ}_{[v,u]}=[{ℒ}_v,{ℒ}_u].$

• Формула гомотопії. ${ℒ}_v=i_{v}d+d{i}_v$. Тут $i_v$ — оператор внутрішнього диференціювання форм. ($(i_v\omega )(X_1,\dots ,X_{k-1})=\omega (v,X_1,\dots ,X_{k-1}$)
• Як наслідок, ${ℒ}_{X}d\omega =d{ℒ}_X\omega ,\omega \in {\mathrm{\Lambda }}^{*}(M)$
• ${ℒ}_X(s)={vpr}_F(Ts\circ X-X^F\circ s)$. Тут $s$ — гладкий перетин (природного) векторного розшарування $F$ (наприклад, будь-яке тензорне поле), $X^F$ — підняття векторного поля $X$ на $F$, ${vpr}_F$ — оператор вертикального проектування на $F$.

Див. також

• Поле Кілінга
• Дужка Лі векторних полів

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation