Ціла частина числа

Графік функції $y=[x]$ або $y=\lfloor x\rfloor$

Ціла частина дійсного числа $x$ — найбільше ціле число, яке не більше ніж $x$. Ціла частина числа $x$ зазвичай позначається як $[x]$.

Графік функції $y=\lceil x\rceil$

В інформатиці поряд з функцією ціла частина використовують функції підлога (Шаблон:Lang-en) та стеля (Шаблон:Lang-en). Функція підлога позначається як $y=\lfloor x\rfloor$ та збігається з цілою частиною, функція стелі позначається як $\lceil x\rceil$ та дорівнює найменшому цілому числу, яке не менше за $x$.

Визначення за допомогою нерівностей такі:

$\lfloor x\rfloor =\max \{m\in \mathbb{Z}\mid m⩽x\},$

$\lceil x\rceil =\min \{n\in \mathbb{Z}\mid n⩾x\}.$

Оскільки в напіввідкритому інтервалі довжини 1 є рівно одне ціле число, то для будь-якого дійсного x існують єдині цілі числа m і n, що задовольняють нерівність

$x-1<m\le x\le n<x+1.$

Тоді   $\lfloor x\rfloor =m$   і   $\lceil x\rceil =n$  також можна приймати як означення функцій підлоги та стелі.

Еквівалентності

Наступні формули можна використовувати для спрощення виразів, що включають функцій підлоги та стелі.

$\begin{array}{cccc}\lfloor x\rfloor =m& \text{ тоді і тільки тоді }& m& \le x<m+1,\\ \lceil x\rceil =n& \text{ тоді і тільки тоді }& n-1& <x\le n,\\ \lfloor x\rfloor =m& \text{ тоді і тільки тоді }& x-1& <m\le x,\\ \lceil x\rceil =n& \text{ тоді і тільки тоді }& x& \le n<x+1.\end{array}$

На мові відношень порядку функція підлоги є залишковим відображенням, тобто частиною відповідності Галуа: це верхнє спряження функції, яке вкладує цілі числа в дійсні числа.

$\begin{array}{cccc}x<n& \text{ тоді і тільки тоді }& \lfloor x\rfloor & <n,\\ n<x& \text{ тоді і тільки тоді }& n& <\lceil x\rceil ,\\ x\le n& \text{ тоді і тільки тоді }& \lceil x\rceil & \le n,\\ n\le x& \text{ тоді і тільки тоді }& n& \le \lfloor x\rfloor .\end{array}$

Наступні формули показують, як додавання цілих чисел до аргументу впливає на функції:

$\begin{array}{cc}\lfloor x+n\rfloor & =\lfloor x\rfloor +n,\\ \lceil x+n\rceil & =\lceil x\rceil +n,\\ \{x+n\}& =\{x\}.\end{array}$

Вищезазначені формули невірні, якщо n не є цілим числом; однак для будь-яких Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar мають місце наступні нерівності:

$\begin{array}{cc}\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor & \le \lfloor x+y\rfloor \le \lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor +1,\\ \lceil x\rceil +\lceil y\rceil -1& \le \lceil x+y\rceil \le \lceil x\rceil +\lceil y\rceil .\end{array}$

Співвідношення між функціями

З означень випливає, що

$\lfloor x\rfloor \le \lceil x\rceil ,$   причому рівність можлива, тоді і тільки тоді, коли x - ціле число, тобто

$\lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor =\{\begin{array}{cc}0,& \text{якщо}x\in \mathbb{Z},\\ 1,& \text{якщо}x\in ̸\mathbb{Z}.\end{array}$

Насправді для цілих чисел n і значення функцій підлоги і стелі збігаються :

$\lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.$

Зміна знаку аргументу, міняє місцями функції підлоги та стелі і змінює знак:

$\begin{array}{c}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil =0,\\ -\lfloor x\rfloor =\lceil -x\rceil ,\\ -\lceil x\rceil =\lfloor -x\rfloor ,\end{array}$

і:

$\lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor =\{\begin{array}{cc}0& \text{якщо }x\in \mathbb{Z}\\ -1& \text{якщо }x\in ̸\mathbb{Z},\end{array}$

$\lceil x\rceil +\lceil -x\rceil =\{\begin{array}{cc}0& \text{ якщо }x\in \mathbb{Z}\\ 1& \text{якщо }x\in ̸\mathbb{Z}.\end{array}$

Зміна знаку аргументу доповнює дробову частину:

$\{x\}+\{-x\}=\{\begin{array}{cc}0,& \text{якщо}x\in \mathbb{Z},\\ 1,& \text{якщо}x\in ̸\mathbb{Z}.\end{array}$

Функції підлоги, стелі та дробової частини є ідемпотентними:

$\begin{array}{cc}\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor & =\lfloor x\rfloor ,\\ \lceil \lceil x\rceil \rceil & =\lceil x\rceil ,\\ \{\{x\}\}& =\{x\}.\end{array}$

Результатом композиції функцій підлоги та стелі є внутрішня функція:

$\begin{array}{cc}\lfloor \lceil x\rceil \rfloor & =\lceil x\rceil ,\\ \lceil \lfloor x\rfloor \rceil & =\lfloor x\rfloor \end{array}$

завдяки властивості тотожності для цілих чисел.

Частки

Якщо m і n цілі числа, а n ≠ 0, то

$0\le \left\{\frac{m}{n}\right\}\le 1-\frac{1}{|n|}.$

Якщо n - натуральне число, то

$\lfloor \frac{x+m}{n}\rfloor =\lfloor \frac{\lfloor x\rfloor +m}{n}\rfloor ,$

$\lceil \frac{x+m}{n}\rceil =\lceil \frac{\lceil x\rceil +m}{n}\rceil .$

Якщо m додатне, то

$n=\lceil \frac{n}{m}\rceil +\lceil \frac{n-1}{m}\rceil +\dots +\lceil \frac{n-m+1}{m}\rceil ,$

$n=\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +\lfloor \frac{n+1}{m}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor .$

Для m = 2 отримуємо

$n=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +\lceil \frac{n}{2}\rceil .$

У загальному випадку, для додатнього m (див.тотожність Ерміта)

$\lfloor mx\rceil =\lceil x\rceil +\lceil x-\frac{1}{m}\rceil +\dots +\lceil x-\frac{m-1}{m}\rceil ,$

$\lfloor mx\rfloor =\lfloor x\rfloor +\lfloor x+\frac{1}{m}\rfloor +\dots +\lfloor x+\frac{m-1}{m}\rfloor .$

Для перетворення між функціями підлоги та стелі можна використати наступні формули (m додатне)

$\lceil \frac{n}{m}\rceil =\lfloor \frac{n+m-1}{m}\rfloor =\lfloor \frac{n-1}{m}\rfloor +1,$

$\lfloor \frac{n}{m}\rfloor =\lceil \frac{n-m+1}{m}\rceil =\lceil \frac{n+1}{m}\rceil -1.$

Для всіх натуральних чисел m і n:

$\sum _{k=1}^{n-1}\lfloor \frac{km}{n}\rfloor =\frac{(m-1)(n-1)+\gcd (m,n)-1}{2},$

яка при додатних [[Взаємно прості числа|взаємнопростих} m і n зводиться до

$\sum _{k=1}^{n-1}\lfloor \frac{km}{n}\rfloor =\frac{1}{2}(m-1)(n-1).$

Оскільки права частина у загального випадку симетрична відносно m і n, то

$\lfloor \frac{m}{n}\rfloor +\lfloor \frac{2m}{n}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(n-1)m}{n}\rfloor =\lfloor \frac{n}{m}\rfloor +\lfloor \frac{2n}{m}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(m-1)n}{m}\rfloor .$

І нарешті, для додатних m і n,

$\begin{array}{cc}& \lfloor \frac{x}{n}\rfloor +\lfloor \frac{m+x}{n}\rfloor +\lfloor \frac{2m+x}{n}\rfloor +\dots +\lfloor \frac{(n-1)m+x}{n}\rfloor \\ =& \lfloor \frac{x}{m}\rfloor +\lfloor \frac{n+x}{m}\rfloor +\lfloor \frac{2n+x}{m}\rfloor +\cdots +\lfloor \frac{(m-1)n+x}{m}\rfloor .\end{array}$

це співвідношення іноді називають законом взаємності.

Вкладені частки

Для додатного цілого n і довільних дійсних чисел m, x:

$\lfloor \frac{\lfloor x/m\rfloor }{n}\rfloor =\lfloor \frac{x}{mn}\rfloor ,$

$\lceil \frac{\lceil x/m\rceil }{n}\rceil =\lceil \frac{x}{mn}\rceil .$

Неперервність та розкладення у ряди

Жодна з функцій, обговорюваних у цій статті, не є неперервною, але всі - кусково-лінійні: функції $\lfloor x\rfloor$, $\lceil x\rceil$, і $\{x\}$ мають розриви в цілих числах. Функція $\lfloor x\rfloor$ є напівнеперервною зверху і функції $\lceil x\rceil$ і $\{x\}$ - напівнеперервні знизу.

Оскільки жодна з функцій, розглянутих у цій статті, не є неперервною, тому жодна з них не допускає розклад у вигляді степеневих рядів. Оскільки функції підлоги і стелі неперіодичні, то вони не допускають рівномірно збіжних розкладів у вигляді рядів Фур'є. Функція дробової частини має розклад у ряд Фур'є

$\{x\}=\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(2\pi kx\right)}{k}$

для x не цілого числа.

У точках розриву ряд Фур'є збігається до значення, яке є середнім його границь зліва та справа, на відміну від функцій підлоги, стелі та дробової частини: для фіксованого y і x кратного y ряд Фур'є дає збіжність до y/2, а не до $xmody=0$. У точках неперервності ряд збігається до відповідного значення функції.

З формули $\lfloor x\rfloor =x-\{x\}$ отримуємо

$\lfloor x\rfloor =x-\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (2\pi kx)}{k}$

для x не цілого числа.

Позначення та приклади

Для цілої частини числа $x$ довгий час використовувалось позначення $[x]$, введене Гаусом.

В 1962 році Кеннет Айверсон запропонував заокруглення числа $x$ до найближчого цілого в меншу і більшу сторони називати «підлога» і «стеля» $x$ і позначати $\lfloor x\rfloor$ і $\lceil x\rceil$ відповідно. У цих позначеннях $[x]=\lfloor x\rfloor$.

В сучасній математиці вживають обидва позначення, $[x]$ і $\lfloor x\rfloor$, однак існує тенденція переходу до термінології і позначень Айверсона. Одна з причин цього — потенційна неоднозначність поняття «ціла частина числа». Наприклад, ціла частина числа 2,7 рівна 2, але можливі дві думки на те, як визначити цілу частину числа −2,7. Відповідно до даного в цій статті визначення $[x]\equiv \lfloor x\rfloor =-3$, однак в деяких калькуляторах наявна функція цілої частини числа INT, для від'ємних чисел визначена як INT(-x) = -INT(x), таким чином INT(-2,7) = −2. В термінології Айверсона відсутні можливі неоднозначності:

$\begin{array}{cc}\lfloor 2,7\rfloor =2,& \lfloor -2,7\rfloor =-3,\\ \lceil 2,7\rceil =3,& \lceil -2,7\rceil =-2\end{array}$

Див. також

• Дробова частина числа