Аксіома порожньої множини

Матеріал з testwiki
Версія від 19:02, 20 лютого 2025, створена imported>Artem Tsvik (#1Lib1Ref)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Аксіомою [існування] порожньої множини називається наступне висловлювання теорії множин

∃a∀b (b∉a)

Аксіома порожньої множини проголошує існування принаймні однієї порожньої множини, тобто множини, яка не містить ні одного елемента. Порожня множина є своєю підмножиною, але не є своїм елементом.

Інші формулювання аксіоми порожньої множини

¬ (∀a∃b (b∈a))

∃a∀b (b∈a↔b≠b), що є ∃a (a={b: b≠b})

∃a∀b (b∈a↔b∈b), що є ∃a (a={b: b∈b})

∃a∀b (b∈a↔a∈b), що є ∃a (a={b: a∈b})

∃a∀b (b∈a↔b⊄b), що є ∃a (a={b: b⊄b})

∃a∀b (b∈a↔b⊊b), що є ∃a (a={b: b⊊b})

∃a∀b (b∈a↔Φ[b] ∧ ¬Φ[b]), що є ∃a (a={b: Φ[b] ∧ ¬Φ[b]})

⋯

Примітки

1. Аксіому порожньої множини можна вивести з наступної сукупності висловлювань:

  • ∀a∀b (b=b→(b∉a→b=b) ),
  • ∀b (b=b),
  • ∀a∃c∀b (b∈c↔b∈a ∧ b≠b).

Крім того, аксіому порожньої множини можна вивести з аксіоми нескінченності, представленої в наступному вигляді:

  • ∃a (∃a∅ (a∅∈a ∧ ∀b (b∉a∅))∧∀b (b∈a→∃c (c∈a ∧ ∀d (d∈c↔d∈b ∨ d=b))))

2. Керуючись аксіомою об'ємності, можна довести єдиність порожньої множини. Іншими словами, можна довести, що аксіома порожньої множини рівносильна висловлюванню:

∃!a∀b (b∉a), що є ∃a∀b (b∉a)∧∀a∀a′ (∀b (b∉a′) ∧ ∀b (b∉a)→a′=a)


Єдиність порожньої множини не суперечить «нескінченній множині» описів порожньої множини, включаючи наступні описи:

  • ∅={b:b∈ℝ∧0⋅b=1},
  • ∅={b:b∈ℕ∧1−2=b},
  • ∅={b:b∈ℤ∧2⋅b=1},
  • ∅={b:b∈ℚ∧b=2}.
  • ∅={b:b∈ℝ∧b2=−1}

Див. також

Література

Отримано з https://uk.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Аксіома_порожньої_множини&oldid=4871