Картина взаємодії

Шаблон:Фізична теорія Картина взаємодії (картина Дірака) — спосіб опису квантовомеханічних явищ, проміжний між картиною Шредінгера й картиною Гейзенберга. Така картина закладає залежність від часу й до хвильових функцій, і до операторів.

Перехід до картини взаємодії

Для переходу до картини взаємодії необхідно гамільтоніан системи розділити на дві частини:

$\hat{H}={\hat{H}}_0+\hat{V},$

• ${\hat{H}}_0$ — гамільтоніан системи без врахування взаємодії між певними її частинами,
• $\hat{V}$ відповідає за опис цієї взаємодії.

Часто таке розділення виконують із тих міркувань, що задача з гамільтоніаном ${\hat{H}}_0$ розв'язується точно, а $\hat{V}$ є малим збуренням. Зокрема, якщо вихідний гамільтоніан $\hat{H}$ явно залежить від часу, то часто залежність від часу переносять на $\hat{V}$, залишаючи $\widehat{H_0}$ незалежним від часу.

Оператор еволюції

Унітарний оператор еволюції ${\hat{U}}_0(t)$ вводиться таким чином:

$|{\psi }_S(t)⟩={\hat{U}}_0(t)|{\psi }_I(t)⟩,$

де $|{\psi }_S(t)⟩$ — хвильова функція в картині Шредінгера. Якщо гамільтоніан $\widehat{H_0}$ явно не залежить від часу, то:

${\hat{U}}_0(t)=e^{-\frac{i\widehat{H_0}t}{\hslash }},$

що випливає з рівняння:

$i\hslash \frac{d{\hat{U}}_0}{dt}={\hat{H}}_0{\hat{U}}_0.$

Рівняння руху для операторів

Часова залежність закладається до операторів фізичних величин за допомогою оператора еволюції (аналогічно до картини Гейзенберга):

${\hat{A}}_I(t)={\hat{U}}_0^{†}(t)\hat{A}{\hat{U}}_0(t).$

Далі, якщо записати повну похідну від оператора ${\hat{A}}_I(t)$:

$\frac{d{\hat{A}}_I(t)}{dt}=\frac{\partial {\hat{A}}_I(t)}{\partial t}+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}_0{e}^{\frac{i{\hat{H}}_{0}t}{\hslash }}\hat{A}{e}^{-\frac{i{\hat{H}}_{0}t}{\hslash }}-\frac{i}{\hslash }{e}^{\frac{i{\hat{H}}_{0}t}{\hslash }}\hat{A}{e}^{-\frac{i{\hat{H}}_{0}t}{\hslash }}{\hat{H}}_0=\frac{\partial {\hat{A}}_I(t)}{\partial t}+\frac{i}{\hslash }{\hat{H}}_0{\hat{A}}_I(t)-\frac{i}{\hslash }{\hat{A}}_I(t){\hat{H}}_0.$

Остаточно, якщо записати отриманий вираз через комутатор, маємо рівняння руху для операторів:

$i\hslash \frac{d{\hat{A}}_I(t)}{dt}=i\hslash \frac{\partial {\hat{A}}_I(t)}{\partial t}+[{\hat{A}}_I(t),{\hat{H}}_0].$

Якщо оператор ${\hat{A}}_I$ явно не залежить від часу, рівняння руху має вигляд:

$i\hslash \frac{d{\hat{A}}_I}{dt}=[{\hat{A}}_I,{\hat{H}}_0].$

Рівняння для хвильових функцій

Записавши оператор взаємодії $\hat{V}$ у картині взаємодії:

${\hat{V}}_I(t)={\hat{U}}_0^{†}(t)\hat{V}{\hat{U}}_0(t),$

можна отримати рівняння для хвильових функцій:

$i\hslash \frac{\partial |{\psi }_I(t)⟩}{\partial t}={\hat{V}}_I(t)|{\psi }_I(t)⟩.$

Зв'язок із картинами Шредінгера й Гейзенберга

Картина взаємодії — проміжна між картинами Шредінгера й Гейзенберга. Перехід від картини Шредінгера до картини взаємодії виконується за допомогою оператора еволюції ${\hat{U}}_0$, що задається опорним гамільтоніаном ${\hat{U}}_0$. Перейти від картини взаємодії до картини Гейзенберга можна, ввівши ще один оператор еволюції $\hat{\sigma }$, який діє наступним чином:

$|{\psi }_I(t)⟩=\hat{\sigma }(t)|{\psi }_H⟩$

і задається рівнянням:

$i\hslash \frac{d\hat{\sigma }(t)}{dt}={\hat{V}}_I(t)\hat{\sigma }(t).$

Таким чином, можна ввести повний оператор еволюції $\hat{U}(t)={\hat{U}}_0(t)\hat{\sigma }(t)$, який переводить хвильову функцію з картини Гейзенберга до картини Шредінгера через картину взаємодії:

$|{\psi }_S(t)⟩=\hat{U}(t)|{\psi }_H⟩={\hat{U}}_0(t)|{\psi }_I(t)⟩.$

Див. також

• Картина Шредінгера
• Картина Гейзенберга

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга