Функція Ліувілля

Функція Ліувілля — арифметична функція, що широко застосовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Жозефа Ліувілля. Для позначення функції переважно використовується λ(n).

Для додатного n функція Ліувілля визначається:

$\lambda (n)=(-1{)}^{\mathrm{\Omega }(n)},$

де Ω(n) — кількість простих дільників числа n, разом з мультиплікативністю. Тобто якщо $n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\dots p_k^{{\alpha }_k},$ то:

$\lambda (n)=(-1{)}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_k}$

Перші значення функції рівні

1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, … (Шаблон:OEIS.)

Властивості

• Функція Ліувілля є цілком мультиплікативною, тобто $\lambda (mn)=\lambda (m)\lambda (n),\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N}.$
• $\sum _{d|n}\lambda (d)=\{\begin{array}{cc}1& n=k^2,k\in \mathbb{N}\\ 0& \sqrt{n}\notin \mathbb{N}.\end{array}$

де сума береться по всіх дільниках числа n.

Для доведення позначимо $g(n)=\sum _{d|n}\lambda (d).$ Тоді оскільки функція $\lambda (n)$ — мультиплікативна, то мультиплікативною є і функція g(n). Якщо $n=p^{\alpha }$ — степінь простого числа, то

$g(p^{\alpha })=\sum _{d|p^{\alpha }}\lambda (d)=1+\lambda (p)+\lambda (p^2)+\dots +\lambda (p^{\alpha })=1-1+\dots +(-1{)}^{\alpha }=\{\begin{array}{cc}0& n=2k,k\in \mathbb{N}\\ 1& n=2k-1,k\in \mathbb{N}.\end{array}$

Тобто для цього випадку якщо степінь є парним, то значення функції рівне 0, непарним — 1. Якщо тепер $n=\prod _{i=1}^k{p}_i^{{\alpha }_i},$ то, враховуючи мультиплікативність, $g(n)=\prod _{i=1}^{k}g(p_i^{{\alpha }_i}).$ Якщо хоча б одне з чисел ${\alpha }_i$ є непарним, то $g({\alpha }_i)=0,$ і також $g(n)=0.$ Число n в такому випадку не може бути квадратом. Якщо ж усі ${\alpha }_i$ є парними, то одночасно $g(n)=1$ і n є квадратом.

• ${\lambda }^{-1}(n)=|\mu (n)|,$

де ${\lambda }^{-1}(n)$ — обернена Діріхле функції $\lambda (n),$ а $\mu (n)$ — функція Мебіуса.

• Ряд Діріхле функції Ліувілля пов'язаний з Дзета-функцією Рімана формулою

$\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}.$

Гіпотези

Гіпотеза Пойа зроблена угорським математиком Дьордьом Пойа в 1919 році. Визначивши

$L(n)=\sum _{k=1}^n\lambda (k),$

гіпотеза стверджує, що $L(n)\le 0$ для n > 1. Гіпотеза, проте, не є вірною. Найменший контрприклад n = 906150257, знайшов японський математик Мінору Танака в 1980 році. Згодом було доведено, що L(n) > 0.0618672√n для нескінченної кількості n, і також L(n) < -1.3892783√n для нескінченної кількості n. Визначимо також суму

$T(n)=\sum _{k=1}^n\frac{\lambda (k)}{k}.$

Існувала також гіпотеза, що T(n) ≥ 0 для достатньо великих n ≥ n₀. Гіпотеза була спростована англійським математиком Браяном Гаселґровом у 1958 році Підтвердження цієї гіпотези привело б до доведення гіпотези Рімана.

Посилання

1. Шаблон:Mathworld

Література

• Шаблон:Чандрасекхаран.Введение в аналитическую теорию чисел
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3