Нерівність Мюрхеда

Нерівність Мюрхеда дозволяє порівнювати значення деяких симетричних многочленів на одному і тому ж наборі невід'ємних значень аргументів.

Означення

Якщо вектор дійсних чисел $a=(a_1,\dots ,a_n)$ мажорує вектор дійсних чисел $b=(b_1,\dots ,b_n)$ тоді виконується нерівність для многочленів

$\sum _{\text{sym}}{x}_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}\ge \sum _{\text{sym}}{x}_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}$,

для будь яких невідʼємних $x_1,x_2,\cdots ,x_n$.

Симетрична сума

В означенні використовується спеціальна нотація для сум одночленів зі степенями $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$

$\sum _{\text{sym}}{x}_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n}=\sum _{\sigma }{x}_{{\sigma }_1}^{{\alpha }_1}\cdots x_{{\sigma }_n}^{{\alpha }_n},$

Сума береться по всіх перестановках $\sigma$ з елементів { 1, …, n }.

Для випадку $n=3$ треба знайти всі перестановки трьох змінних, тобто сума складається з $3!=6$ додатків:

$\begin{array}{cc}\sum _{\text{sym}}{x}^3{y}^2{z}^0& =x^3{y}^2{z}^0+x^3{z}^2{y}^0+y^3{x}^2{z}^0+y^3{z}^2{x}^0+z^3{x}^2{y}^0+z^3{y}^2{x}^0\\ & =x^3{y}^2+x^3{z}^2+y^3{x}^2+y^3{z}^2+z^3{x}^2+z^3{y}^2\end{array}$

Приклад 1

З нерівності Мюрхеда випливає нерівність середнього арифметичного та геометричного якщо застосувати її з векторами $a=(1,0,\dots ,0)$ та $b=(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\dots ,\frac{1}{n})$. Очевидно, що a мажорує b ($a\succ b$)

$\sum _{\text{sym}}{x}_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}=\sum _{\text{i=1,n}}{x}_i\ge \sum _{\text{sym}}{x}_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}=n\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\dots x_n}$

Приклад 2

Для довільних дійсних чисел виконується нерівність

$a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc.$

Це часний випадок нерівності Мюрхеда степені 2 з векторами $a=(2,0)$ та $b=(1,1)$

Доведення

перенесемо всі члени в ліву частину і помножимо на 2:

$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge 0,$

виділимо повні квадрати:

$(a-b{)}^2+(a-c{)}^2+(b-c{)}^2\ge 0.$

Очевидно що рівність досягається тоді і тільки тоді, коли всі три числа рівні.

Джерела

• Шаблон:Прасолов.Многочлени
• З любов’ю до людей та математики... До 60-рiччя вiд дня народження В’ячеслава Андрiйовича Ясiнського. — Вiнниця : ТОВ «Нiлан-ЛТД», 2017. — 209 c.