Дигамма-функція

Дигамма-функція $\psi (x)$

В математиці дигамма-функція $\psi (x)$ визначається через логарифмічну похідну гамма-функції:

$\psi (x)=\frac{d}{dx}\ln \mathrm{\Gamma }(x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$

Вона є першою полігамма-функцією, а вищі функції (тригамма-функція і т.д.) виходять з неї диференціюванням.

Зв'язок з гармонічними числами

Дигамма-функція пов'язана з гармонійними числами співвідношенням

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$,

де $H_n$ -n-е гармонійне число, а $\gamma$ - постійна Ейлера — Маскероні.

Покажемо звідки береться такий зв'язок. Гамма функція задовольняє рівняння

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z).$

Візьмемо похідну по Шаблон:Mvar:

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z+1)=z{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)+\mathrm{\Gamma }(z)$

Поділимо на Шаблон:Math або ж еквівалентно на Шаблон:Math:

$\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z+1)}{\mathrm{\Gamma }(z+1)}=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}+\frac{1}{z}$

або:

$\psi (z+1)=\psi (z)+\frac{1}{z}$

Оскільки гармонічні числа визначені для додатніх цілих числах Шаблон:Mvar за формулою

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$

отже, дигамма функція пов'язана з ними формулою

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,$

де Шаблон:Math і Шаблон:Mvar — стала Ейлера — Маскероні. Для напів цілих чисел дигамма функція набуває вигляду

$\psi (n+\frac{1}{2})=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^n\frac{2}{2k-1}.$

Властивості

• Формула доповнення

  $\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot (\pi x)$

• Рекурентні співвідношення

  $\psi (x+1)=\psi (x)+\frac{1}{x}$

• Розкладання на нескінченну суму

  $\psi (x)=\ln (x)-\frac{1}{2x}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (1-2n)}{x^{2n}}$

де $\zeta (x)$ - Дзета-функція Рімана.

• Логарифмічний розклад

  $\psi (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\ln (x+k)$

• Теорема Гауса

  $\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(p/q)}{\mathrm{\Gamma }(p/q)}=-\gamma -\ln (2q)-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{\pi p}{q}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left(\frac{2\pi pn}{q}\right)\ln (\sin \left(\frac{\pi n}{q}\right))$

При цілих $p,q$ з умовою $0<p<q$.

Деякі скінченні суми, в яких зустрічається дигамма функція

Є багато скінченних сум, де використовується дигамма функція. Основні з таких формул для сумування

$\sum _{r=1}^m\psi \left(\frac{r}{m}\right)=-m(\gamma +\ln m),$

$\sum _{r=1}^m\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \exp \frac{2\pi rki}{m}=m\ln (1-\exp \frac{2\pi ki}{m}),k\in \mathbb{Z},m\in \mathbb{N},k\ne m.$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \cos \frac{2\pi rk}{m}=m\ln (2\sin \frac{k\pi }{m})+\gamma ,k=1,2,\dots ,m-1$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \sin \frac{2\pi rk}{m}=\frac{\pi }{2}(2k-m),k=1,2,\dots ,m-1$

виведені Ґауссом. А більш складніші формули, як такі

$\sum _{r=0}^{m-1}\psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot \cos \frac{(2r+1)k\pi }{m}=m\ln (\tan \frac{\pi k}{2m}),k=1,2,\dots ,m-1$

$\sum _{r=0}^{m-1}\psi \left(\frac{2r+1}{2m}\right)\cdot \sin \frac{(2r+1)k\pi }{m}=-\frac{\pi m}{2},k=1,2,\dots ,m-1$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \cot \frac{\pi r}{m}=-\frac{\pi (m-1)(m-2)}{6}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \frac{r}{m}=-\frac{\gamma }{2}(m-1)-\frac{m}{2}\ln m-\frac{\pi }{2}\sum _{r=1}^{m-1}\frac{r}{m}\cdot \cot \frac{\pi r}{m}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \cos \frac{(2\ell +1)\pi r}{m}=-\frac{\pi }{m}\sum _{r=1}^{m-1}\frac{r\cdot \sin \frac{2\pi r}{m}}{\cos \frac{2\pi r}{m}-\cos \frac{(2\ell +1)\pi }{m}},\ell \in \mathbb{Z}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left(\frac{r}{m}\right)\cdot \sin \frac{(2\ell +1)\pi r}{m}=-(\gamma +\ln 2m)\cot \frac{(2\ell +1)\pi }{2m}+\sin \frac{(2\ell +1)\pi }{m}\sum _{r=1}^{m-1}\frac{\ln \sin \frac{\pi r}{m}}{\cos \frac{2\pi r}{m}-\cos \frac{(2\ell +1)\pi }{m}},\ell \in \mathbb{Z}$

$\sum _{r=1}^{m-1}{\psi }^2\left(\frac{r}{m}\right)=(m-1){\gamma }^2+m(2\gamma +\ln 4m)\ln m-m(m-1){\ln }^{2}2+\frac{{\pi }^2(m^2-3m+2)}{12}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}{\ln }^2\sin \frac{\pi \ell }{m}$

виведені багатьма сучасними математиками (див. наприклад Додаток B в статті Блаґошин (2014)).

Дигамма теорема Ґауса

Для натуральних Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar (Шаблон:Math), дигамма функцію можна виразити через сталу Ейлера і скінченного числа елементарних функцій

$\psi \left(\frac{r}{m}\right)=-\gamma -\ln (2m)-\frac{\pi }{2}\cot \left(\frac{r\pi }{m}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor \frac{m-1}{2}\rfloor }\cos \left(\frac{2\pi nr}{m}\right)\ln \sin \left(\frac{\pi n}{m}\right)$

дане вираження правильне спираючись на рекурсію для всіх раціональних аргументів.

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Властивості дигамма-функції Шаблон:Webarchive (англ.)