Субдиференціал

Опукла функція (синя) та «лінії субградієнту» в x₀ (червоні).

У математиці, зокрема, в опуклому аналізі, поняття субдиференціалу та субградієнту є узагальненнями відповідних понять диференціалу та градієнту класичного аналізу.

Визначення

Нехай $f:{ℝ}^n\to ℝ$ — функція на евклідовому просторі ${ℝ}^n.$ Вектор $g\in {ℝ}^n$ називається субградієнтом функції $f(x)$ в точці $\overline{x}\in {ℝ}^n,$ якщо справджується нерівність

$g\in {ℝ}^n:f(x)-f(\overline{x})\ge g^T(x-\overline{x})\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n\}$

Множина всіх субградієнтів називається субдиференціалом функції f(x) в точці $\overline{x}$ і позначається $\partial f(\overline{x})$. Використовуючи математичну символіку можна записати визначення субдиференціалу:

$\partial f(\overline{x})=\{g\in {ℝ}^n:f(x)-f(\overline{x})\ge g^T(x-\overline{x})\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n\}$

Приклад

Для функції $f:ℝ\to ℝ:x\mapsto |x|$ однієї дійсної змінної маємо:

$\partial f(\overline{x})=\{\begin{array}{cc}\{-1\}& \overline{x}<0\\ [-1,1]& \overline{x}=0\\ \{1\}& \overline{x}>0\end{array}$

Властивості

• Опукла функція $f:ℝ\to ℝ$ є диференційовною в точці $x_0$ тоді і тільки тоді, коли субдиференційал функції $f$ в точці $x_0$ складається з єдиного числа. Це число і є похідною функції $f$ в точці $x_0$.
• Точка $x_0$ є точкою глобального мінімуму опуклої функції $f$ тоді і тільки тоді, коли нуль входить до її субдиференціалу, тобто коли на рисунку вище можна провести горизонтальну дотичну в точці $x_0$ до графіку функції $f$.
• Якщо $f$ і $g$ є опуклими функціями з субдиференціалами $\partial f(x)$ і $\partial g(x)$, то субдиференціалом функції $f+g$ є $\partial (f+g)(x)=\partial f(x)\oplus \partial g(x)$, де $\oplus$ позначає суму Мінковського.

Див. також

• Опукла функція

Джерела

• Моклячук М.П. Основи опуклого аналізу. К.:ТвіМС, 2004. – 240с.
• М.П.Моклячук, Негладкий аналіз та оптимізація
• J.M. Borwein, A.S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.