Метод квадратного кореня

Шаблон:Без джерел Метод квадратного кореня — метод, що застосовується для розв'язку СЛАР з симетричною матрицею коефіцієнтів при змінних.

Цей метод відноситься до категорії точних чисельних методів.

Якщо в системи лінійних алгебраїчних рівнянь $Ax=b$ матриця $A$ є невиродженою ($detA\ne 0$) та симетричною ($A=A^T$), то розв'язок можна знайти методом квадратного кореня.

Опис методу

Метод використовується для СЛАР виду:$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ................................\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array},$$

де $a_{ij}=a_{ji}(i=\overline{1,n};j=\overline{1,n})$.

Процес розв'язання СЛАР складається з двох етапів:

1. Прямий хід, при якому початкова симетрична матриця визначається добутком двох взаємно транспонованих трикутних матриць: $A=U^T\cdot U$
2. Обернений метод квадратного кореня, при якому відбувається послідовне розв'язання двох трикутних систем:

$$\begin{array}{c}{U}^{T}y=b;\\ Ux=y\end{array}$$

Обернений метод квадратного кореня

.

LDL-розклад матриці

Матриця $A$ симетрична, то ми можемо розкласти її на добуток матриць $A=LD{L}^T$, де $L$ — одинична нижня трикутна матриця; $D$ — діагональна матриця.

Отримаємо систему:

$LD{L}^T\cdot x=b$

Розв'язок $x$ отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР:

$LD\cdot y=b$ та

$L^T\cdot x=y$.

Порівняно з загальнішими методами (метод Гауса чи LU-розклад матриці) він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.