Інтегральна формула Пуассона

Інтегра́льна формула Пуассо́на Нехай для гармонічної в кулі функції u(r, φ) поставлена ​​умова рівності на границі функції u₀: u(R, φ) = u₀(φ), при цьому функції належать наступним класам гладкості: $u(r,\phi )\in C^2(D)\cap C(\bar{D}),u_0(\phi )\in C^1(\partial D)$, де ∂D — границя кулі D, а $\bar{D}$ — його замикання. Тоді розв'язок такої задачі Діріхле можна представити через інтеграл Пуассона:

$u(r,\phi )=\frac{R^2-r^2}{{\omega }_{n}R}\underset{\partial D}{\int }\frac{u_0(\psi )}{|r-\psi {|}^n}dS(\psi ),r\in [0;R),$

где ω_n — площа одиничної сфери, а n — розмірність простору.

Для двовимірного простору

Нехай функція f(z) є голоморфною у деякій області, що містить замкнутий круг радіуса R з центром у початку координат. Нехай K позначає відовідне коло. Для довільної точки $z=r{e}^{i\phi }$, що лежить всередині круга, згідно формули Коші:

$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{K}{\int }\frac{f(w)}{w-z}dw=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(R{e}^{i\psi })\frac{R{e}^{i\psi }}{R{e}^{i\psi }-r{e}^{i\phi }}d\psi$, (1)

Нехай $z^{*}$ одержується із $z$ за допомогою інверсії відносно кола K тобто $z^{*}=\frac{R^2}{\overline{z}}=\frac{R^2}{r}{e}^{i\psi }$. Оскільки точка $z^{*}$ не належить K то функція $\frac{f(w)}{w-z^{*}}$ буде аналітичною всередині і на границі кола К, а тому за теоремою Коші маємо:

$0=\frac{1}{2\pi i}\underset{K}{\int }\frac{f(w)}{w-z^{*}}dw=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(R{e}^{i\psi })\frac{r{e}^{i\psi }}{r{e}^{i\psi }-R{e}^{i\phi }}d\psi$, (2)

Віднімаємо від (1) рівність (2):

$f(z)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(R{e}^{i\psi })(\frac{R{e}^{i\psi }}{R{e}^{i\psi }-r{e}^{i\phi }}-\frac{r{e}^{i\psi }}{r{e}^{i\psi }-R{e}^{i\phi }})d\psi$. (3')

Після зведення до спільного знаменника, скорочення і поділу чисельника і знаменника на $-e^{i(\psi +\phi )}$

$\frac{R{e}^{i\psi }}{R{e}^{i\psi }-r{e}^{i\phi }}-\frac{r{e}^{i\psi }}{r{e}^{i\psi }-R{e}^{i\phi }}=\frac{(r^2-R^2)e^{i(\psi +\phi )}}{(-R^2-r^2)e^{i(\psi +\phi )}+Rr(e^{2i\psi }+e^{2i\phi })}=\frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-Rr(e^{i(\psi -\phi )}+e^{i(\phi -\psi )})}.$

Враховуючи тригонометричну тотожність $\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$остаточно (3') можна записати як

$f(z)=u+vi=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(R{e}^{i\psi })\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\phi -\psi )+r^2}d\psi$

Порівнюючи дійсні значення у лівій і правій частині рівності, отримаємо формулу:

$u(r,\phi )=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}U(R,\psi )\frac{R^2-r^2}{R^2-2Rr\cos (\phi -\psi )+r^2}d\psi$, (3)

яка носить назву інтегральної формула Пуассона. Оскільки кожна гармонічна функція U може бути розглянута як дійсна частина аналітичної функції, то за допомогою цієї формули виражається значення будь-якої гармонійної функції усередині кола через її граничні значення.

Зауважимо ще, що ми отримаємо з формули (3) часткові похідні функції U відносно r і $\psi$ (або х і у) для внутрішньої точки кола, якщо продиференціюємо вираз, що стоїть під знаком інтеграла.

Формула (3) Пуассона найпростіший вигляд має при r=0:

$U(0)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}U(R,\psi )d\psi$

тобто значення гармонічної функції у центрі кола дорівнює середньому арифметичному її значень на

межі цього кола.

Джерела

• И.И. Привалов. Введение в теорию функций комплексной переменной. - Москва "Наука", 1984