Однорідні координати

Однорідні координати — координати, що володіють властивістю, за якої об'єкт, що визначається цими координатами, не змінюється при множенні всіх координат на одне і те ж число, відмінне від нуля. Однорідні координати мають таке ж значення для проєктивної геометрії, як декартові координати для Евклідової геометрії. Поняття однорідних координат увів Август Фердинанд Мебіус у 1827 році у роботі Der barycentrische Calcül.

За допомогою однорідних координат навіть координати нескінченно віддалених точок можна представити за допомогою скінченних координат. Формули, записані в однорідних координатах, найчастіше простіші та більш симетричні, ніж їхні вирази в декартових координатах. Однорідні координати мають широкий спектр застосування, в тому числі в комп'ютерній графіці та в 3D комп'ютерному зорі, де вони дозволяють виконувати афінні перетворення і, загалом, проєктивні перетворення, через що їх легко представити у вигляді матриці.

Однорідні координати не задають однозначно точку простору. Наприклад, (1, 1, 1, 1) і (2, 2, 2, 2) задають одну і ту ж точку (1, 1, 1). При переході до однорідних координат для точки з координатами (x, у, z) пропонується узяти набір (x, у, z, 1). В процесі перетворень четверта координата w може змінюватися.

Зворотний перехід до декартових координат здійснюється за допомогою ділення на w-координату.

Вступ

Дійсну проєктивну площину можна розглядати як евклідову площину, яка має додаткові точки, які називаються точками на нескінченності, котрі вважають такими, що лежать на новій прямій, Шаблон:Нп. Існує точка на нескінченності, яка відповідає кожному напрямкові (який чисельно задається нахилом прямої), неформально визначена як границя точки, яка рухається в напрямку від початку. Стверджують, що паралельні лінії на евклідовій площині перетинаються в точці на нескінченності, яка відповідає їхньому спільному напрямкові. Для точки Шаблон:Nowrap на Евклідовій площині і будь-якого ненульового дійсного числа Z трійка Шаблон:Nowrap називається множиною однорідних координат точки. За цим визначенням, множення трьох однорідних координат на одне ненульове значення дає новий набір однорідних координат тієї самої точки. Зокрема Шаблон:Nowrap є множиною однорідних координат для точки Шаблон:Nowrap. Наприклад, точку декартової системи Шаблон:Nowrap можна задати в однорідних координатах як Шаблон:Nowrap або Шаблон:Nowrap. Початкові декартові координати можна отримати шляхом ділення перших двох значень на третє. Таким чином, одну точку в декартових координатах можна задавати нескінченною кількістю однорідних координат.

Рівняння прямої, що проходить через початок Шаблон:Nowrap, можна записати як Шаблон:Nowrap, де n і m обидва не дорівнюють 0. В параметричній формі це можна записати Шаблон:Nowrap. Нехай Z = 1/t, тоді координати точки на прямій можуть бути записані як Шаблон:Nowrap. В однорідних координатах це буде Шаблон:Nowrap. У граничному випадкові, коли t наближається до нескінченності, тобто точка рухається від початку координат, Z наближається до 0 і однорідні координати точки будуть Шаблон:Nowrap. Таким чином, ми визначаємо Шаблон:Nowrap як однорідні координати точки на нескінченності, яка відповідає напрямкові прямої Шаблон:Nowrap. Позаяк кожна пряма в Евклідовій площині паралельна прямій, яка проходить через початок, і паралельні лінії мають одну точку на нескінченності, нескінченна точка на кожній прямій Евклідової площини має дані однорідні координати.

Як підсумок:

• Будь-яка точка на проєктивній площині задається трійкою Шаблон:Nowrap, що називається однорідними координатами або проєктивними координатами точки, де X, Y і Z всі не дорівнюють 0.
• Точка, задана певним набором однорідних координат, залишиться незмінною, якщо її координати помножити на один і той же коефіцієнт.
• І навпаки, дві множини однорідних координат задають одну і ту ж точку тоді і тільки тоді, коли одну з них можна отримати з іншої шляхом множення на одну ненульову константу.
• Якщо Z не дорівнює 0, точка відповідає точці Шаблон:Nowrap на Евклідовій площині.
• Якщо Z дорівнює 0, точка відповідає точці на нескінченності.

Зазначимо, що трійка координат Шаблон:Nowrap не представляє жодної точки. Початок координат задається як Шаблон:Nowrap.

Позначення

Деякі автори використовують інше позначення для однорідних координат, яке дозволяє відрізнити їх від Декартових координат. Використовується двокрапка замість коми, наприклад (x:y:z) замість написання Шаблон:Nowrap, що підкреслює зміст того, що координати варто розглядати як співвідношення. Квадратні дужки, як в Шаблон:Nowrap, підкреслюють, що багато наборів координат пов'язано з однією точкою. Деякі автори використовують поєднання двокрапок і квадратних дужок: [x:y:z].

Інші виміри

Можна провести аналогію для проєктивних просторів, що не є площиною. Так, наприклад, точки на проєктивній прямій можуть задаватися як пари координат Шаблон:Nowrap, обидві не рівні нулеві. В такому випадку точка на нескінченності є Шаблон:Nowrap. Аналогічно точка у проєктивному просторі n-виміру задається набором (n + 1) координат.

Матриці елементарних перетворень евклідового простору в однорідних координатах

Нехай задано точку евклідового простору ${𝔼}^3$ з координатами $(x,y,z)$. Їй ставиться у відповідність точка з однорідними координатами $(x,y,z,1)$, з якою виконуються потрібні перетворення. Після цього отримані координати $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },w^{\prime })$ переводяться у декартові координати $(\frac{x^{\prime }}{w^{\prime }},\frac{y^{\prime }}{w^{\prime }},\frac{z^{\prime }}{w^{\prime }})$.

Використання матричного запису дозволяє отримати економію в кількості зроблених операцій. Позаяк добуток матриць асоціативний, то можна спочатку обчислити необхідне перетворення як добуток матриць, і тільки потім застосувати його до координат точок.

Паралельне перенесення:	$\underset{\_}{T}$	=	$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\underset{\_}{T}\cdot (x,y,z,1{)}^T=(x+t_x,y+t_y,z+t_z,1{)}^T$
Обертання навколо осі x:	$\underset{\_}{R_x}$	=	$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
Обертання навколо осі y:	$\underset{\_}{R_y}$	=	$\left(\begin{array}{cccc}\cos \beta & 0& \sin \beta & 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
Обертання навколо осі z:	$\underset{\_}{R_z}$	=	$\left(\begin{array}{cccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0& 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$
Масштабування:	$\underset{\_}{S}$	=	$\left(\begin{array}{cccc}{s}_x& 0& 0& 0\\ 0& s_y& 0& 0\\ 0& 0& s_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\underset{\_}{S}\cdot (x,y,z,1{)}^T=(s_x\cdot x,s_y\cdot y,s_z\cdot z,1{)}^T$
Перспективне перетворення:	$\underset{\_}{P}$	=	$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1}{d}& 0\end{array}\right)$	$\underset{\_}{P}\cdot (x,y,z,1{)}^T=(x,y,z,\frac{z}{d}{)}^T$
Ортогональна проєкція:	$\underset{\_}{P_{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h},z=0}}$	=	$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$	$\underset{\_}{P_{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h},z=0}}\cdot (x,y,z,1{)}^T=(x,y,0,1{)}^T$

Посилання

• Homogeneous coordinates

Див. також

• Проєктивний простір
• Проєктивні координати
• Барицентричні координати
• Плюккерові координати