Формула Валліса

Формула Валліса, виведена 1655 року Джоном Валлісом, стверджує:

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2n}{2n-1}\cdot \frac{2n}{2n+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\frac{\pi }{2}.$

Винайдення

Валліс вивів нескінченний добуток методом порівняння визначених інтегралів $\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx$ для парних і непарних n, як показано нижче. Оскільки на той час математичний аналіз, зокрема теорія збіжності, не мав достатнього розвитку і не було відомо про його зв'язок із площами фігур, дослідження вважалося складним і незавершеним. Як згодом виявилось, формула Валліса є простим наслідком формули Ейлера для синуса.

Доведення через розклад синуса в нескінченний добуток

$\frac{\sin x}{x}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{n^2{\pi }^2})$

Нехай x = π/2:

$\Rightarrow \frac{2}{\pi }=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{4n^2})$

$\begin{array}{cc}\Rightarrow \frac{\pi }{2}& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\frac{4n^2}{4n^2-1}\right)\\ & =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots \end{array}$

Доведення через інтегрування

Нехай:

$I(n)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx$

$u={\sin }^{n-1}x\Rightarrow du=(n-1){\sin }^{n-2}x\cos xdx$

$dv=\sin xdx\Rightarrow v=-\cos x$

$\Rightarrow I(n)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n}xdx=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}udv$

$=uv{|}_{x=0}^{x=\pi }-\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}vdu$

$=0-(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}-{\cos }^{2}x{\sin }^{n-2}xdx,n>1$

$=(n-1)\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(1-{\sin }^{2}x){\sin }^{n-2}xdx$

$=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)$

$I(n)=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)$

$\Rightarrow I(n)=\frac{n-1}{n}I(n-2)$

$I(1)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin xdx=-\cos x{|}_0^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2$

$I(0)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}dx=x{|}_0^{\pi }=\pi$

$I(2n+1)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2n+1}xdx=\frac{2n}{2n+1}I(2n-1)=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}I(2n-3)$

Повторюючи,

$=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}\cdot \frac{2n-4}{2n-3}\cdot \cdots \cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}I(1)=2\prod _{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}$

$I(2n)=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{2n}xdx=\frac{2n-1}{2n}I(2n-2)=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}I(2n-4)$

Повторюючи,

$=\frac{2n-1}{2n}\cdot \frac{2n-3}{2n-2}\cdot \frac{2n-5}{2n-4}\cdot \cdots \cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}I(0)=\pi \prod _{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}$

${\sin }^{2n+1}x⩽{\sin }^{2n}x⩽{\sin }^{2n-1}x,0⩽x⩽\pi$

$\Rightarrow I(2n+1)⩽I(2n)⩽I(2n-1)$

$\Rightarrow 1⩽\frac{I(2n)}{I(2n+1)}⩽\frac{I(2n-1)}{I(2n+1)}=\frac{2n+1}{2n}$

За теоремою про три послідовності:

$\Rightarrow \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{I(2n)}{I(2n+1)}=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{I(2n)}{I(2n+1)}=\frac{\pi }{2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{k=1}^n(\frac{2k-1}{2k}\cdot \frac{2k+1}{2k})=1$

$\Rightarrow \frac{\pi }{2}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{2k}{2k-1}\cdot \frac{2k}{2k+1})=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \cdots$

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр