Авторегресивна умовна гетероскедастичність

В економетриці, Авторегресивні умовно гетероскедастичні (АРУГ) (Шаблон:Lang-en) моделі використовуються для опису і моделювання часових рядів. Такі моделі використовуються у випадках коли є підстави вважати, що в на кожному відрізку часу, дисперсія часового ряду залежить від різних параметрів і не є сталою.

АРУГ(q) (ARCH(q)) модель

Нехай потрібно змоделювати часовий ряд використовуючи АРУГ процес. Позначимо ${ϵ}_t$ похибки (залишки доходів відносно середнього процесу). Ці ${ϵ}_t$ розкладаються на стохастичний член, $z_t$, та стандартне відхилення, залежне від часу, ${\sigma }_t$. ${\sigma }_t$ характеризує величину ${ϵ}_t$ наступним чином

${ϵ}_t={\sigma }_t{z}_t$

тут $z_t$ — стандартна нормальна випадкова величина (математичне сподівання = 0, дисперсія = 1), (тобто, $z_t\stackrel{\text{iid}}{\sim }N(0,1))$ і ряд ${\sigma }_t^2$ моделюється як

${\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\alpha }_1{ϵ}_{t-1}^2+\cdots +{\alpha }_q{ϵ}_{t-q}^2={\alpha }_0+\sum _{i=1}^q{\alpha }_i{ϵ}_{t-i}^2$

де ${\alpha }_0>0$ та ${\alpha }_i\ge 0,i>0$.

Параметри АРУГ(q) моделі можуть бути оцінені методом найменших квадратів. Метод тестування кількості лагів похибок моделі УАРГ з використанням методу множників Лагранжа запропонував Роберт Енґл. Процедура тестування здійснюється виконанням кроків:

1. Оцінити найкращу підгонку АР(q) модель $y_t=a_0+a_1{y}_{t-1}+\cdots +a_q{y}_{t-q}+{ϵ}_t=a_0+\sum _{i=1}^q{a}_i{y}_{t-i}+{ϵ}_t$.
2. Отримати квадрати похибок ${\widehat{ϵ}}^2$ і зрегресувати їх на константі та q лагах (запізненнях):

   ${\widehat{ϵ}}_t^2={\hat{\alpha }}_0+\sum _{i=1}^q{\hat{\alpha }}_i{\widehat{ϵ}}_{t-i}^2$

   тут q кількість запізнень УАРГ процесу.

3. Нульова гіпотеза полягає в тому, що якщо ми не маємо АРУГ компонентів, тоді має виконуватися ${\alpha }_i=0\mathrm{\forall }i=1,\cdots ,q$. Альтернативна гіпотеза про присутність УАРГ компонентів перевіряється тим, що принаймні один оцінений параметр ${\alpha }_i$ суттєво відрізняється від нуля. Для вибірки з T похибок за умови вірності нульової гіпотези (похибки не є АРУГ процесом) тестова статистика TR² має ${\chi }^2$ розподіл з q ступенями свободи. Якщо TR² більше ніж відповідний квантиль хі-квадрат розподілу ми відкидаємо нульову гіпотезу і робимо висновок, що присутній УАРГ ефект у АРРС моделі. Якщо TR² — менше ніж квантиль хі-квадрат розподілу ми не відкидаємо нульову гіпотезу.