Приєднані функції Лежандра

Приєднані функції Лежандра — канонічні розв'язки узагальненого рівняння Лежандра

$(1-x^2)\frac{d^2}{d{x}^2}{P}_{\ell }^m(x)-2x\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)+[\ell (\ell +1)-\frac{m^2}{1-x^2}]P_{\ell }^m(x)=0$,

або

$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)]+[\ell (\ell +1)-\frac{m^2}{1-x^2}]P_{\ell }^m(x)=0$,

де індекси ℓ та m називають степінню та порядком, відповідно. У разі, коли ℓ ціле, а m — не тільки ціле, а парне ці функції зводяться до поліномів Лежандра, томі їх часто неформально називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча для довільних ℓ та m вони поліномами не є. Загалом узагальнене рівняння Лежандра має аналітичний розв'язок на інтревалі on [−1, 1] лише для цілих ℓ та m.

Рівняння Лежандра часто зустрічається фізиці та суміжних дисциплінах. Зокрема вони виникають при розв'язанні рівняння Лапласа в сферичній системі координат. Вони важливі для визначення сферичних гармонік.

Означення для невід'ємних цілих значень ℓ та m

Розв'язки поначаються $P_{\ell }^m(x)$, де m — верхній індекс. Налегше їх визначити як похідні від поліномів Лежандра (m ≥ 0)

$P_{\ell }^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}(P_{\ell }(x))$

Іноді множник (−1)^m у визначенні опускають.

Визначені так функції задовольняють узагальнене рівняння Лежандра, учому можна переконатися взявши m похідну від рівняння Лежандра для поліномів P_ℓ:

$(1-x^2)\frac{d^2}{d{x}^2}{P}_{\ell }(x)-2x\frac{d}{dx}{P}_{\ell }(x)+\ell (\ell +1)P_{\ell }(x)=0.$

Враховуючи формулу Родріга,

$P_{\ell }(x)=\frac{1}{2^{\ell }\ell !}\frac{d^{\ell }}{d{x}^{\ell }}[(x^2-1{)}^{\ell }],$

PШаблон:Su можна записати у вигляді

$P_{\ell }^m(x)=\frac{(-1{)}^m}{2^{\ell }\ell !}(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^{\ell +m}}{d{x}^{\ell +m}}(x^2-1{)}^{\ell }.$

Це рівняння дозволяє розширити діапозон значень m до: −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Означення P_ℓ^±m, що слідує з цього виразу після заміни ±m, пропрціональні між собою. Справді, прирівняюючи коефіцієнти при однакових степенях у правій та лівій частині формули

$\frac{d^{\ell -m}}{d{x}^{\ell -m}}(x^2-1{)}^{\ell }=c_{lm}(1-x^2{)}^m\frac{d^{\ell +m}}{d{x}^{\ell +m}}(x^2-1{)}^{\ell },$

стала пропорційносі визначається як

$c_{lm}=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!},$

тож

$P_{\ell }^{-m}(x)=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}{P}_{\ell }^m(x).$

Альтернативне позначення

У літературі також використовується позначення:

$P_{\ell m}(x)=(-1{)}^m{P}_{\ell }^m(x)$

Ортогональність

У межах 0 ≤ m ≤ ℓ, функції задовольняють умову ортогональності для фіксованих m:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_k^m{P}_{\ell }^{m}dx=\frac{2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}{\delta }_{k,\ell },$

де δ_k, ℓ — символ Кронекера.

Вони також задовольняють умову ортогональності при фіксованих ℓ:

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{P_{\ell }^m{P}_{\ell }^n}{1-x^2}dx=\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \frac{(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}& \text{if }m=n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }m=n=0\end{array}.$

Від'ємні m та/або від'ємні ℓ

Диференційне рівняння інваріантне щодо зміни знаку m.

Функції при від'ємнмх m пропорційні визначеним при додатних m:

$P_{\ell }^{-m}=(-1{)}^m\frac{(\ell -m)!}{(\ell +m)!}{P}_{\ell }^m$

Якщо $\mid m\mid >\ell$ то $P_{\ell }^m=0.$

Диференційне рівняння не зміюється також при заміні ℓ на −ℓ − 1, тому функції при від'ємних ℓ визначаються як

$P_{-\ell }^m=P_{\ell -1}^m,(\ell =1,2,...)$.

Парність

З означення випливає, що приєднані функції Лежандра або парні або непарні

$P_{\ell }^m(-x)=(-1{)}^{\ell +m}{P}_{\ell }^m(x)$

Перші кілька приєднаних функцій Лежандра

Associated Legendre functions for m = 4

Перші кілька приєднаних функцій Лежандра включно з від'ємними значеннями m:

$P_0^0(x)=1$

$P_1^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}{P}_1^1(x)$

$P_1^0(x)=x$

$P_1^1(x)=-(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_2^{-2}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{24}\end{array}{P}_2^2(x)$

$P_2^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{6}\end{array}{P}_2^1(x)$

$P_2^0(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(3x^2-1)$

$P_2^1(x)=-3x(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_2^2(x)=3(1-x^2)$

$P_3^{-3}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{720}\end{array}{P}_3^3(x)$

$P_3^{-2}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{120}\end{array}{P}_3^2(x)$

$P_3^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{12}\end{array}{P}_3^1(x)$

$P_3^0(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{2}\end{array}(5x^3-3x)$

$P_3^1(x)=-\begin{array}{c}\frac{3}{2}\end{array}(5x^2-1)(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_3^2(x)=15x(1-x^2)$

$P_3^3(x)=-15(1-x^2{)}^{3/2}$

$P_4^{-4}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{40320}\end{array}{P}_4^4(x)$

$P_4^{-3}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{5040}\end{array}{P}_4^3(x)$

$P_4^{-2}(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{360}\end{array}{P}_4^2(x)$

$P_4^{-1}(x)=-\begin{array}{c}\frac{1}{20}\end{array}{P}_4^1(x)$

$P_4^0(x)=\begin{array}{c}\frac{1}{8}\end{array}(35x^4-30x^2+3)$

$P_4^1(x)=-\begin{array}{c}\frac{5}{2}\end{array}(7x^3-3x)(1-x^2{)}^{1/2}$

$P_4^2(x)=\begin{array}{c}\frac{15}{2}\end{array}(7x^2-1)(1-x^2)$

$P_4^3(x)=-105x(1-x^2{)}^{3/2}$

$P_4^4(x)=105(1-x^2{)}^2$

$P_5^{-5}(x)=\frac{1}{3840}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^5$

$P_5^{-4}(x)=\frac{1}{384}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^{4}x$

$P_5^{-3}(x)=\frac{1}{384}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^3(9x^2-1)$

$P_5^{-2}(x)=\frac{1}{16}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^2(3x^3-1x)$

$P_5^{-1}(x)=\frac{1}{16}\left(\sqrt{1-x^2}\right)(21x^4-14x^2+1)$

$P_5^0(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$

$P_5^1(x)=\frac{-15}{8}\left(\sqrt{1-x^2}\right)(21x^4-14x^2+1)$

$P_5^2(x)=\frac{105}{2}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^2(3x^3-1x)$

$P_5^3(x)=\frac{-105}{2}{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^3(9x^2-1)$

$P_5^4(x)=945{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^{4}x$

$P_5^5(x)=-945{\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^5$

Рекурентні співвідношення

Функції Лежандра задовольняють рекурентним співвідношенням:

$(\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)=(2\ell +1)x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$2mx{P}_{\ell }^m(x)=-\sqrt{1-x^2}[P_{\ell }^{m+1}(x)+(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)]$

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{-1}{2m}[P_{\ell -1}^{m+1}(x)+(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)]$

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{-1}{2m}[P_{\ell +1}^{m+1}(x)+(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)]$

$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2\ell +1}[(\ell -m+1)(\ell -m+2)P_{\ell +1}^{m-1}(x)-(\ell +m-1)(\ell +m)P_{\ell -1}^{m-1}(x)]$

$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2\ell +1}[-P_{\ell +1}^{m+1}(x)+P_{\ell -1}^{m+1}(x)]$

$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m)x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)=(\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)-(\ell +m+1)x{P}_{\ell }^m(x)$

$\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2}[(\ell +m)(\ell -m+1)P_{\ell }^{m-1}(x)-P_{\ell }^{m+1}(x)]$

$(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=\frac{1}{2\ell +1}[(\ell +1)(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)-\ell (\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)]$

$(x^2-1)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=\ell x{P}_{\ell }^m(x)-(\ell +m)P_{\ell -1}^m(x)$

$(x^2-1)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=-(\ell +1)x{P}_{\ell }^m(x)+(\ell -m+1)P_{\ell +1}^m(x)$

$(x^2-1)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m+1}(x)+mx{P}_{\ell }^m(x)$

$(x^2-1)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)=-(\ell +m)(\ell -m+1)\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{m-1}(x)-mx{P}_{\ell }^m(x)$

Корисні тотожності (початкові значення для рекурсії):

$P_{\ell +1}^{\ell +1}(x)=-(2\ell +1)\sqrt{1-x^2}{P}_{\ell }^{\ell }(x)$

$P_{\ell }^{\ell }(x)=(-1{)}^{\ell }(2\ell -1)!!(1-x^2{)}^{(\ell /2)}$

$P_{\ell +1}^{\ell }(x)=x(2\ell +1)P_{\ell }^{\ell }(x)$ — де !! позначає подвійний факторіал.

Формула Гонта

Інтеграл від добутку трьох приєднаних поліномів Лежандра з порядками вказаними нижче має значення для розкладу добутку поліномів Лежандра в лінійні ряди поліномів. Наприклад, у цьому виникає потреба при атомних розрахунках, які використовують матричні елементи від кулонівського оператора в методі Гартрі-Фока. Цій меті відповідає формула Гонта

$\frac{1}{2}\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{P}_l^u(x)P_m^v(x)P_n^w(x)dx=$	$(-1{)}^{s-m-w}\frac{(m+v)!(n+w)!(2s-2n)!s!}{(m-v)!(s-l)!(s-m)!(s-n)!(2s+1)!}$
	$\times \sum _{t=p}^q(-1{)}^t\frac{(l+u+t)!(m+n-u-t)!}{t!(l-u-t)!(m-n+u+t)!(n-w-t)!}$

Ця формула використовується за умови виконання наступних припущень:

1. степені невід'ємні цілі числа $l,m,n\ge 0$,
2. $u,v,w\ge 0$ — невід'ємні цілі,
3. $u$ — найбільший зі степенів
4. у сумі степені дають $u=v+w$
5. порядки задовольняють умові $m\ge n$

Інші величини у формулі означені так:

$2s=l+m+n$

$p=\max (0,n-m-u)$

$q=\min (m+n-u,l-u,n-w)$

Інтеграл дорівнює нулю, якщо не виконується наступне:

1. сума всіх степенів парна, тож $s$ є цілим числом
2. задовольняється умова трикутника: $m+n\ge l\ge m-n$.

Донг та Лемю (2002) узагальнили доведення цієї формули на інтеграли від добутку довільного числа приєднаних поліномів Лежандра.

Узагальнення через гіпергеометричну функцію

Шаблон:Main Функції можна визначити для довільних комплексних параметрів та аргументів:

$P_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\mu )}{\left[\frac{1+z}{1-z}\right]}^{\mu /2}{}_2{F}_1(-\lambda ,\lambda +1;1-\mu ;\frac{1-z}{2})$

де $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функція, а ${}_2{F}_1$ — гіпергеометрична функція:

${}_2{F}_1(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+\beta )}{\mathrm{\Gamma }(n+\gamma )n!}{z}^n,$

За такого загального означення функції однозначно називають функціями Лежандра. Вони задовольняють тому ж диференційному рівнянню:

$(1-z^2)y^{″}-2z{y}^{\prime }+(\lambda [\lambda +1]-\frac{{\mu }^2}{1-z^2})y=0.$

Оскільки це рівняння другого порядку, воно має ще один розв'язок $Q_{\lambda }^{\mu }(z)$, визначений як:

$Q_{\lambda }^{\mu }(z)=\frac{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(\lambda +\mu +1)}{2^{\lambda +1}\mathrm{\Gamma }(\lambda +3/2)}\frac{1}{z^{\lambda +\mu +1}}(1-z^2{)}^{\mu /2}{}_2{F}_1(\frac{\lambda +\mu +1}{2},\frac{\lambda +\mu +2}{2};\lambda +\frac{3}{2};\frac{1}{z^2})$

Як $P_{\lambda }^{\mu }(z)$ так і $Q_{\lambda }^{\mu }(z)$ задовольняють рекурентним формулам, наведеним раніше.

Параметризація через кути

Приєднані функції Лежандра найбільше використовуються, коли їхнім арументом є кут. Після заміни $x=\cos \theta$:

$P_{\ell }^m(\cos \theta )=(-1{)}^m(\sin \theta {)}^m\frac{d^m}{d(\cos \theta {)}^m}(P_{\ell }(\cos \theta ))$

Використовуючи $(1-x^2{)}^{1/2}=\sin \theta$, наведений вище перелік набирає форми:

$\begin{array}{cc}{P}_0^0(\cos \theta )& =1\\ P_1^0(\cos \theta )& =\cos \theta \\ P_1^1(\cos \theta )& =-\sin \theta \\ P_2^0(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(3{\cos }^2\theta -1)\\ P_2^1(\cos \theta )& =-3\cos \theta \sin \theta \\ P_2^2(\cos \theta )& =3{\sin }^2\theta \\ P_3^0(\cos \theta )& =\frac{1}{2}(5{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\\ P_3^1(\cos \theta )& =-\frac{3}{2}(5{\cos }^2\theta -1)\sin \theta \\ P_3^2(\cos \theta )& =15\cos \theta {\sin }^2\theta \\ P_3^3(\cos \theta )& =-15{\sin }^3\theta \\ P_4^0(\cos \theta )& =\frac{1}{8}(35{\cos }^4\theta -30{\cos }^2\theta +3)\\ P_4^1(\cos \theta )& =-\frac{5}{2}(7{\cos }^3\theta -3\cos \theta )\sin \theta \\ P_4^2(\cos \theta )& =\frac{15}{2}(7{\cos }^2\theta -1){\sin }^2\theta \\ P_4^3(\cos \theta )& =-105\cos \theta {\sin }^3\theta \\ P_4^4(\cos \theta )& =105{\sin }^4\theta \end{array}$

Ортогональність у цих позначеннях стає: для фіксованих m, $P_{\ell }^m(\cos \theta )$ ортогоналіні в інтервалі зміни θ $[0,\pi ]$ з вагою $\sin \theta$:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{P}_k^m(\cos \theta )P_{\ell }^m(\cos \theta )\sin \theta d\theta =\frac{2(\ell +m)!}{(2\ell +1)(\ell -m)!}{\delta }_{k,\ell }$

Для фіксованих ℓ:

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )P_{\ell }^n(\cos \theta )\csc \theta d\theta =\{\begin{array}{cc}0& \text{if }m\ne n\\ \frac{(\ell +m)!}{m(\ell -m)!}& \text{if }m=n\ne 0\\ \mathrm{\infty }& \text{if }m=n=0\end{array}$

Як функції від θ, $P_{\ell }^m(\cos \theta )$ є розв'язками рівняння

$\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}+\cot \theta \frac{dy}{d\theta }+[\lambda -\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]y=0$

Точніше, для цілого m$\ge$0, наведене рівняння має розв'язки без особливостей тільки тоді, коли $\lambda =\ell (\ell +1)$ для цілих ℓ ≥ m, і ці розв'язки пропорційні $P_{\ell }^m(\cos \theta )$.

Застосування в фізиці: сферичні гармоніки

У фізиці приєднані поліноми Лежандра як функції кута зустрічаються в задачах зі сферичною симетрією. Крім полярного кута $\theta$ в цих задачах фігурує кут $\phi$. Функції цих двох кутів утворюють так звані сферичні гармоніки. Вони відображають симетрію дво-сфери під дією групи Лі SO(3).

Корисність цих функцій у тому, що вони є розв'язками рівняння ${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda \psi =0$ на поверхні сфери. У сферичних координатах θ та φ , Лапласіан має вигляд

${\mathrm{\nabla }}^2\psi =\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\theta }^2}+\text{ctg}\theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta }+{\text{cosec}}^2\theta \frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\phi }^2}.$

Якщо розв'язати рівняння в часткових похідних

$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\theta }^2}+\text{ctg}\theta \frac{\partial \psi }{\partial \theta }+{\text{cosec}}^2\theta \frac{{\partial }^2\psi }{\partial {\phi }^2}+\lambda \psi =0$

методом розділення змінних, залежна від φ частина має вигляд $\sin (m\phi )$ або $\cos (m\phi )$ для цілих m≥0, а рівняння для залежної від θ частини набирає вигляду

$\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}+\text{ctg}\theta \frac{dy}{d\theta }+[\lambda -\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]y=0$

розв'язками якого є $P_{\ell }^m(\cos \theta )$ з $\ell \ge m$ та $\lambda =\ell (\ell +1)$.

Тому рівняння

${\mathrm{\nabla }}^2\psi +\lambda \psi =0$

має сепарабельні розв'язки без особливостей лише тоді, коли $\lambda =\ell (\ell +1)$, і ці розв'язки пропорційні

$P_{\ell }^m(\cos \theta )\cos (m\phi )0\le m\le \ell$

та

$P_{\ell }^m(\cos \theta )\sin (m\phi )0<m\le \ell .$

Для кожного ℓ існує Шаблон:Nowrap функцій з різними значеннями m та вибором синуса чи косинуса. Усі вони ортогональні щодо ℓ та m при інтегруванні по поверхні сфери.

Зазвичай розв'язки записують через комплексні експоненти:

$Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )=\sqrt{\frac{(2\ell +1)(\ell -m)!}{4\pi (\ell +m)!}}{P}_{\ell }^m(\cos \theta )e^{im\phi }-\ell \le m\le \ell .$

Функції $Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )$ називають сферичними гармоніками, а вираз у квадратних дужках є множником нормування. З означення приєднаних поліномів Лежандра для додатних та від'ємних m, легко доказати, що сферичні гармоніки задовольняють тотожність

$Y_{\ell ,m}^{*}(\theta ,\phi )=(-1{)}^m{Y}_{\ell ,-m}(\theta ,\phi ).$

Сферичні гармоніки утворюють повний ортонормований набір у сенсі рядів Фур'є. У геодезії, геомагнетизмі та спектральному аналізі використовуються інші фази та множники нормування.

Узагальнення

Приєднані поліноми Лежандра тісно пов'язані з гіпергеометричними рядами. У формі сферичних гармонік вони відображають симетрію сфери Рімана щодо дії групи Лі SO(3). Поряд із SO(3) існує багато інших груп Лі, тож аналогіні поліноми відповідають симетріям напівпростих груп Лі та симетричним просторам Рімана. Грубо кажучи, можна записати лапласіан у симертричних просторах: тоді власні функції лапласіана можна вважати узагальненням поліномів Лежандра в інших умовах.

Див. також

• Кутовий момент
• Список об'єктів, названих на честь Адрієна-Марі Лежандра

Література

• Шаблон:Citation; Section 12.5. (Uses a different sign convention.)
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation; Chapter 3.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation; Chapter 2.
• Шаблон:Citation.
• Schach, S. R. (1973) New Identities for Legendre Associated Functions of Integral Order and Degree , Society for Industrial and Applied Mathematics Journal on Mathematical Analysis, 1976, Vol. 7, No. 1 : pp. 59–69

Посилання

• Associated Legendre polynomials in MathWorld
• Legendre polynomials in MathWorld