Ядро (лінійна алгебра)

Ядро лінійного відображення (ядро матриці) A розміру m × n, це множина

$\text{Ker}(𝐀)=\{\mathbf{\text{x}}\in {\mathbf{\text{R}}}^n:𝐀𝐱=\mathbf{\text{0}}\}$

Матрицю $𝐀$ розглядають як матрицю лінійного відображення із простору розмірності n в простір розмірності m.

Для знаходження ядра матриці потрібно розв'язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад

Розглянемо матрицю

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right].$

Нульовий простір цієї матриці утворюють всі вектори (x, y, z) ∈ R³ для яких

$\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 5\\ -4& 2& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\text{.}$

Це можна записати в вигляді однорідної системи лінійних рівнянь із шуканими x, y і z:

$\begin{array}{ccccccccccccc}2x& & +& & 3y& & +& & 5z& & =& & 0,\\ -4x& & +& & 2y& & +& & 3z& & =& & 0.\\ \end{array}$

І далі у вигляді матриці:

$\left[\begin{array}{cccc}2& 3& 5& 0\\ -4& 2& 3& 0\end{array}\right].$

Із використанням методу Жордана Гауса, переходимо до:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0.625& 0\\ 0& 1& 1.625& 0\end{array}\right].$

Отже:

$\begin{array}{ccc}x=& & -0.625c\\ y=& & -1.625c.\end{array}$

Тепер ми можемо записати нульовий простір (розв'язки Ax = 0) в термінах c (яка є нашою вільною змінною), де c є скаляром:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=c\left[\begin{array}{c}-0.625\\ -1.625\\ 1\end{array}\right].$

Нульовий простір A збігається з множиною розв'язків цих рівнянь (в цьому випадку, пряма через початок координат в R³).

Див. також

• Ядро (алгебра)
• Ядро та образ лінійного оператора
• Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць
• Шаблон:Гельфанд.Линейная алгебра