Рівняння Гельмгольца

Рівняння Гельмгольца — диференціальне рівняння з частинними похідними еліптичного типу, що має вигляд:

Δ F + k^{2} F = 0

,

де $F (𝐫)$ — невідома функція, $Δ$ — оператор Лапласа, k — параметр.

Зв'язок із хвильовим рівнянням

Рівняння Гельмгольца є наслідком хвильового рівняння:

Δ Φ - \frac{1}{s^{2}} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial t^{2}} = 0

,

якщо його розв'язок шукати у вигляді:

Φ = F (𝐫) e^{- i ω t}

.

При цьому

k^{2} = \frac{ω^{2}}{s^{2}}

.

Для знаходження конкретних розв'язків рівняння Гельмгольца для конкретної задачі математичної фізики потрібно доповнити граничними умовами.

Для безмежного тривимірного простору розв'язки можна записати у вигляді плоских хвиль:

F = F_{0} e^{i 𝐤 𝐫}

,

де $𝐤^{2} = k^{2}$ .

Для двовимірної задачі в полярній системі координат розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції функцій Бесселя:

F = \sum_{n} (a_{n} J_{n} (k ρ) + b_{n} Y_{n} (k ρ)) e^{i n φ}

.

Для тривимірного простору в сферичній системі координат розв'язки мають вигляд суперпозиції сферичних гармонік, помножених на сферичні функції Бесселя:

F = \sum_{l m} (a_{l m} j_{l} (k r) + b_{l m} n_{l} (k r)) Y_{l m} (θ, φ)

.