Середнє арифметико-геометричне

Середнє арифметико-геометричне — це спільна границя двох послідовностей, середньої арифметичної та середньої геометричної двох заданих чисел a та b.

Доведення

Нехай нам задано два додатних числа a та b, причому ($a>b$). Утворимо їх середнє арифметичне та середнє геометричне.

$a_1=\frac{a+b}{2},b_1=\sqrt{ab}$

Відомо, що перше середнє більше за друге:

$\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b)=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{2}>0$

В той же час, вони містяться між заданими числами:

$a>a_1>b_1>b$

Якщо числа $a_n$ та $b_n$ вже визначені, то $a_{n+1}$ та $b_{n+1}$ визначаються за формулами:

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=\sqrt{a_n{b}_n}$

і, як і вище, $a_n>a_{n+1}>b_{n+1}>b_n$

Таким чином складаються дві варіанти $a_n$ та $b_n$, перша з яких є спадною, а інша зростаючою (на зустріч одна одній). В той же час

$a>a_n>b_n>b$

Так що обидві варіанти обмежені, і відповідно, обидві прямують до кінцевих границь.

$\alpha =\lim a_n,\beta =\lim b_n$

Якщо в рівнянні

$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$

перейти до границь, то отримаємо

$\alpha =\frac{\alpha +\beta }{2}$

звідкіля

$\alpha =\beta$

Таким чином, обидві послідовності прямують до спільної границі $\mu (a,b)$

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр