Розклад Річчі

У псевдорімановій геометрії розклад Річчі — це розклад тензора кривини Рімана на незвідні щодо ортогональної групи тензорні частини. Цей розклад відіграє важливу роль у рімановій і псевдорімановій геометрії.

Складові частини тензора Рімана

Розклад виглядає так:

$R_{abcd}=S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.$

Його елементами є:

1. скалярна частина $S_{abcd}$,
2. напівбезслідова частина $E_{abcd}$,
3. повністю безслідова частина, має спеціальну назву тензор Вейля, $C_{abcd}$.

Кожен елемент має ті ж симетрії, що й тензор кривизни, але також володіє специфічними алгебраїчними властивостями.

Скалярна частина

$S_{abcd}=\frac{R}{(n-1)(n-2)}{H}_{abcd}$

залежить тільки від скалярної кривини $R={R^m}_m$ ($R_{ab}$ — тензор Річчі), і метричного тензора $g_{ab}$, який комбінується таким чином, щоб дати тензор $H_{abcd}$ з симетрією тензора кривизни:

$H_{abcd}=g_{ad}{g}_{cb}-g_{ac}{g}_{db}=2g_{a[d}{g}_{c]b}.$

Напівбезслідова частина

$E_{abcd}=\frac{1}{n-2}(g_{ac}{R}_{bd}-g_{ad}{R}_{bc}+g_{bd}{R}_{ac}-g_{bc}{R}_{ad})=\frac{2}{n-2}(g_{a[c}{R}_{d]b}-g_{b[c}{R}_{d]a})$

виходить аналогічним чином з безслідової частини тензора Річчі

$S_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{n}{g}_{ab}R$

і метричного тензора $g_{ab}$.

Тензор Вейля повністю безслідовий у тому сенсі, що його згортка за будь-якою парою індексів дає нуль. Герман Вейль показав, що цей тензор вимірює відхилення псевдоріманового многовиду від конформно-плоского: якщо він звертається в нуль, то многовид локально конформно-еквівалентний плоскому многовиду.

Цей розклад — чисто алгебраїчний і не включає в себе ніяких диференціювань.

У разі Лоренцевого 4-мірного многовиду (наприклад, простору-часу) тензор Ейнштейна $G_{ab}=R_{ab}-1/2g_{ab}R$ має слід, рівний скалярній кривині з протилежним знаком, так що безслідові частини тензора Ейнштейна та тензора Річчі збігаються

$S_{ab}=R_{ab}-\frac{1}{4}{g}_{ab}R=G_{ab}-\frac{1}{4}{g}_{ab}G.$

Зауваження щодо термінології: позначення $R_{abcd},C_{abcd}$ — стандартні, $S_{ab},E_{abcd}$ — широко поширені, але не загальноприйняті, а тензори $S_{abcd}$ і $H_{abcd}$ не мають усталених позначень.

Шаблон:Без джерел