Компактно-відкрита топологія

Компактно-відкрита топологія — природна топологія на просторі неперервних відображень між топологічними просторами. Компактно відкрита топологія часто використовується у теорії гомотопій і функціональному аналізі.

Означення

Нехай $C(X,Y)$ — простір неперервних відображень між двома топологічними просторами $X\to Y$. Компактно-відкритою топологією на цьому просторі називається топологія передбазу якої утворюють множини відображень виду

$W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},$

де $U\subset Y$ — відкрита множина, а $K\subset X$ — компактний простір.

Приклади

• Якщо Шаблон:Math є одноточковим топологічним простором то Шаблон:Math можна ідентифікувати із Шаблон:Mvar. При цій ідентифікації компактно-відкрита топологія співпадає із топологією простору Шаблон:Mvar.
• Більш загально, якщо Шаблон:Mvar є дискретним простором, то Шаблон:Math можна ідентифікувати із добутком Шаблон:Math копій простору Шаблон:Mvar і компактно-відкрита топологія є рівною топології добутку.
• Якщо Шаблон:Mvar є метричним простором (або, більш загально, рівномірним простором), тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології компактної збіжності. Тобто, якщо Шаблон:Mvar є метричним простором то послідовність Шаблон:Math} збігається до Шаблон:Math у компактно-відкритій топології якщо і тільки якщо для кожної компактної множини Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, Шаблон:Math} рівномірно збігається до Шаблон:Math на Шаблон:Mvar. Якщо Шаблон:Mvar є компактним простором, а Шаблон:Mvar — рівномірним простором, тоді компактно-відкрита топологія є рівною топології рівномірної збіжності.
• Компактно-відкрита топологія широко використовується для таких важливих просторів:
  • $\mathrm{\Omega }(X,x_0)=\{f:I\to X:f(0)=f(1)=x_0\}$, простір петель для $X$ у точці $x_0$.
  • $E(X,x_0,x_1)=\{f:I\to X:f(0)=x_0,f(1)=x_1\}$
  • $E(X,x_0)=\{f:I\to X:f(0)=x_0\}$

Властивості

• Якщо Шаблон:Mvar є гаусдорфовим простором і Шаблон:Mvar є передбазою простору Шаблон:Mvar, тоді множини Шаблон:Math} утворюють передбазу компактно-відкритої топології на Шаблон:Math.
• Якщо Шаблон:Math є підпростором Шаблон:Math (із індукованою топологією), то компактно-відкрита топологія на Шаблон:Math є індукованою топологією від компактно-відкритої топології на просторі Шаблон:Math.
• Якщо простір Шаблон:Mvar задовольняє аксіоми T₀, T₁, є гаусдорфовим, регулярним чи цілком регулярним то такі ж властивості має і компактно відкрита топологія на просторі Шаблон:Math.
• Якщо Шаблон:Math, Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є топологічними просторами, Шаблон:Math і Шаблон:Math — неперервні відображення, то можна задати відображення Шаблон:Math як Шаблон:Math Дане відображення є неперервним, якщо на Шаблон:Math і Шаблон:Math задано компактно-відкриті топології.

Нехай $W_{K,U}$ є елементом передбази простору Шаблон:Math, де $U\subset B$ — відкрита множина, а $K\subset A$ — компактний простір. Тоді

${\left(g^f\right)}^{-1}(W_{K,U})=\{k\in C(X,Y)|g\circ k\circ f(K)\subset U\}=\{k\in C(X,Y)|k\circ f(K)\subset g^{-1}(U)\}.$ Але Шаблон:Math є компактною множиною у Шаблон:Mvar, а Шаблон:Math 'відкритою множиною у Шаблон:Mvar. Тому ${\left(g^f\right)}^{-1}(W_{K,U})=W_{f(K),g^{-1}(U)}.$ Тобто прообрази елементів передбази простору Шаблон:Math є відкритими підмножинами у Шаблон:Math і Шаблон:Math є неперервним відображенням.

• У позначеннях попередньої властивості, якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math є ще двома неперервними відображеннями, то Шаблон:Math
• Якщо Шаблон:Math є парою гомотопно еквівалентних відображень і Шаблон:Math також є парою гомотопно еквівалентних відображень, тоді Шаблон:Math і Шаблон:Math є гомотопно еквівалентними.
• Якщо Шаблон:Math і Шаблон:Mvar є топологічними просторами і Шаблон:Mvar є локально компактним і гаусдорфовим, то відображення Шаблон:Math задане як Шаблон:Math є неперервним (на всіх функційних просторах задана компактно-відкрита топологія, а на Шаблон:Math — топологія добутку).
• Як частковий випадок попередньої властивості, якщо Шаблон:Mvar є локально компактним і гаусдорфовим, тоді відображення обчислення Шаблон:Math, задане як Шаблон:Math, є неперервним. Ця властивість зводиться до попередньої, якщо за Шаблон:Mvar взяти одноточковий простір.
• Якщо Шаблон:Math і Шаблон:Mvar є топологічними просторами і відображення Шаблон:Math є неперервним, то і відображення Шаблон:Math задане як Шаблон:Math є неперервним (для компактно-відкритої топології на Шаблон:Math). Якщо додатково простір Шаблон:Mvar є локально компактним і гаусдорфовим, то правильним буде і обернене твердження, тобто із неперервності F випливає неперервність f. У цьому випадку одержується бієкція між Шаблон:Math і Шаблон:Math яка є гомеоморфізмом відповідних топологічних просторів із компактно-відкритими топологіями.
• Якщо Шаблон:Mvar є компактним простором і Шаблон:Mvar — метричним простором і з метрикою Шаблон:Mvar, то компактно-відкрита топологія на Шаблон:Math є метризовною із метрикою заданою як Шаблон:Math для Шаблон:Math.

Властивості пов'язані із букетом просторів і смеш-добутком

Нижче $\vee$ позначає букет просторів, а $\wedge$ — смеш-добуток просторів, а всі функціональні простори наділені компактно-відкритою топологією.

• Якщо Шаблон:Math і Шаблон:Mvar є топологічними просторами і Шаблон:Math є гаусдорфовим, то простори $C(X\vee Y,Z)$ і $C(X,Z)\times C(Y,Z)$ є гомеоморфними.
• Якщо Шаблон:Math і Шаблон:Mvar є топологічними просторами і Шаблон:Math є гаусдорфовим, то простори $C(X,Y\times Z)$ і $C(X,Y)\times C(X,Z)$ є гомеоморфними.
• Для топологічних просторів Шаблон:Math і Шаблон:Mvar можна задати відображення:

$\alpha :C(X\wedge Y,Z)\to C(X,C(Y,Z))$ як $[\alpha (k)(x)](y):=k(x\wedge y),x\in X,y\in Y,k\in X\wedge Y\to Z.$

• Для будь-яких просторів це відображення є інєктивним.
• Якщо Шаблон:Math є гаусдорфовим простором то воно є неперервним.
• Якщо Шаблон:Math є локально компактним і гаусдорфовим, то відображення є сюрєктивним.
• Якщо Шаблон:Math і Шаблон:Math є компактними і гаусдорфовими, то відображення є гомеоморфізмом.

Див. також

• Простір петель
• Рівномірна збіжність

Література

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии Шаблон:Webarchive
• Шаблон:Citation