Меллерівське розсіяння

Діаграми Фейнмана
t-канал
u-канал

Меллерівське розсіяння або розсіяння Меллера (Шаблон:Langx) — процес пружнього розсіювання електрона на електроні, що описуєть найнижчим порядком теорії збурень в квантовій електродинаміці. Названий на честь данського фізика та математика Крістіана Меллера. Вказаний процес зображується двома діаграмами Фейнмана (u- і t- канали). У цьому наближені не враховуються радіаційні поправки, а також випромінювання м'яких фотонів, якими завжди супроводжується процес розсіювання заряджених частинок.

Релятивістськи-інваріантний вираз для диференціального перерізу Меллерівського розсіяння отримується згідно з відомими правилами обчислення елементів S-матриці в КЕД (в системі одиниць, в якій $c=1$):

$d\sigma =r_e^2\frac{4\pi m^2\cdot (dt)}{s(s-4m^2)}\left\{\frac{1}{t^2}\right[\frac{s^2+u^2}{2}+4m^2(t-m^2)]+\frac{1}{u^2}[\frac{s^2+t^2}{2}+4m^2(u-m^2)]+\frac{4}{tu}(\frac{s}{2}-m^2)(\frac{s}{2}-3m^2)\}$

$s=(p_1+p_2{)}^2,t=(p_1-q_1{)}^2,u=(p_1-q_2{)}^2$

$p_1+p_2=q_1+q_2,p_1^2=p_2^2=q_1^2=q_2^2=m^2$

У цих виразах використано позначення:

$p_1,p_2,q_1,q_2$ — початкові та кінцеві 4-імпульси 1ого і 2ого електронів

$m$ — маса електрона

$r_e=\frac{e^2}{4\pi m}=\frac{\alpha }{m}\simeq 2.82\cdot 10^{-15}$м — класичний радіус електрона

$(dt)$ — диференціал величини $t$

Вводячи кут розсіяння $\theta$ і енергію електронів $ϵ$ в системі центра мас, де

${𝐩}_{\mathrm{𝟏}}=-{𝐩}_{\mathrm{𝟐}}$

$(p_1{q}_1)=p^2\cos \theta$

$ϵ=p^2+m^2$

$s=4p^2$

$t=-4p^2{\sin }^2\theta /2$

$u=-4p^2{\cos }^2\theta /2$,

отримаємо формулу Меллера (K.Møller, 1932):

$d\sigma =r_e^2\frac{1+{\beta }^2}{4{\beta }^4{\gamma }^2}[\frac{4}{{\sin }^4\theta }-\frac{3}{{\sin }^2\theta }+(\frac{{\beta }^2}{1+{\beta }^2}{)}^2(1+\frac{4}{\sin \theta })]d\mathrm{\Omega }$

де

$\gamma =\frac{ϵ}{m}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$

$\beta =\frac{p}{m}$

$d\mathrm{\Omega }=\sin \theta d\theta d\varphi$ — елемент тілесного кута

У нерелятивістській границі ($\beta \ll 1$) цей вираз переходить у формулу Резерфорда з врахуванням обмінної взаємодії (через тотожність електронів) у Борнівському наближені.

$d\sigma =\frac{e^4}{(16\pi m{v}^2{)}^2}[\frac{1}{{\sin }^4\theta }+\frac{1}{{\cos }^4\theta }-\frac{1}{{\sin }^2\theta /2{\cos }^2\theta /2}]$

Для переходу до лабораторної системи відліку, в якій один із електронів перебуває в стані спокою, потрібно ввести відповідні змінні (${\theta }^{\prime },{\gamma }^{\prime },{\beta }^{\prime }$), з допомогою співвідношень

$\cos \theta =\frac{2-({\gamma }^{\prime }+3){\sin }^2{\theta }^{\prime })}{2+({\gamma }^{\prime }+1){\sin }^2{\theta }^{\prime })},2{\gamma }^2={\gamma }^{\prime }+1,\frac{4{\beta }^2{\gamma }^2}{1+{\beta }^2}=({\beta }^{\prime }{)}^2{\gamma }^{\prime }$

У рамках моделі електрослабкої взаємодії, крім діаграм однофотонного обміну, є також діаграми з проміжним векторним бозоном Z°. Проте їхній внесок у переріз розсіяння електронів дуже малий за рахунок дуже великої маси бозона.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Виведення диференціального перерізу розсіяння на сайті Idaho Accelerator Center