Теорема Діні

Шаблон:Також Теорема Діні — твердження в математичному аналізі, що для компактного метричного простору E, якщо зростаюча (відповідно спадна) послідовність f_n дійсних неперервних функцій поточково збігається до неперервної функції g, то вона збігається до цієї функції g рівномірно.

Доведення

Припустимо, що послідовність зростаюча.

Для довільного $\epsilon >0$ і довільної точки $t\in E$ існує такий номер $n(t),$ що при $m⩾n(t)$ виконується нерівність $g(t)-f_m(t)⩽\epsilon /3$. Так як g і $f_{n(t)}$ неперервні, у точки t існує такий окіл V (t), що з $t^{\prime }\in V(t)$ випливає $|g(t)-g(t^{\prime })|⩽\epsilon /3$ і $|f_{n(t)}(t)-f_{n(t)}(t^{\prime })|⩽\epsilon /3.$

Таким чином, для будь-якої точки $t^{\prime }\in V(t)$ ми маємо $|g(t^{\prime })-f_{n(t)}(t^{\prime })|⩽\epsilon .$

Виберемо тепер скінченну множину точок $t_i\in E$ так, щоб околи $V(t_i)$ покривали Е (це можливо, зважаючи на компактність E), і нехай $n_0$ — найбільший з номерів $n(t_i).$

Тоді будь-яка точка $t\in E$ належить принаймні одному з околів $V(t_i),$ тому при $n⩾n_0$ справедливі нерівності $g(t)-f_n(t)⩽g(t)-f_{n_0}(t)⩽g(t)-f_{n(t_i)}(t),\mathrm{\forall }t\in E.$

Див. також

• Квазірівномірна збіжність
• Рівномірна збіжність

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1