Диференціальне рівняння гіперболічного типу

Диференціальне рівняння гіперболічного типу — один із трьох можливих випадків диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних з двома змінними, що в математичній фізиці використовується для описання хвильових процесів.

В канонічній формі це рівняння має вигляд:

$\frac{{\delta }^{2}u}{\delta \xi \delta \eta }+F_1(\xi ,\eta ,u,\frac{\delta u}{\delta \xi },\frac{\delta u}{\delta \eta })=0$.

Виходячи з загального вигляду рівняння в частинних похідних другого порядку

$A\frac{{\delta }^{2}u}{\delta x^2}+2B\frac{{\delta }^{2}u}{\delta x\delta y}+C\frac{{\delta }^{2}u}{\delta y^2}+D\frac{\delta u}{\delta x}+E\frac{\delta u}{\delta y}+Fu=f(x,y)$,

можна перейти до канонічного, за допомогою перетворення:

$\{\begin{array}{c}\xi =\phi (x,y)\\ \eta =\psi (x,y)\end{array}$

де $\phi ,\psi$ — інтеграли диференціальних рівнянь характеристик.

Часто користуються другою канонічною формою для гіперболічних рівнянь. У цьому випадку

$\xi =\frac{1}{2}(\phi +\psi ),\eta =\frac{1}{2}(\phi -\psi )$

і рівняння зводиться до вигляду

$\frac{{\delta }^{2}u}{\delta {\xi }^2}-\frac{{\delta }^{2}u}{\delta {\eta }^2}+F_2(\xi ,\eta ,u,\frac{\delta u}{\delta \xi },\frac{\delta u}{\delta \eta })=0$

Звичайна інтерпретація змінних $\xi$ та $\eta$ — час і просторова координата. До рівнянь гіперболічного типу належать хвильові рівняння, наприклад, рівняння коливання струни, рівняння Клейна-Гордона, рівняння синус-Ґордона тощо.

Див. також

• Диференціальне рівняння еліптичного типу
• Диференціальне рівняння параболічного типу

Література

• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .