Атрактор Пликіна

Атрактор Пликіна — приклад динамічної системи на диску, максимальний атрактор якої гіперболічний. Зокрема, цей приклад структурно стійкий, як відповідний аксіомі A Смейла.

Конструкція

Аттрактор Пликіна будується як фактор дифеоморфізму тора, що є DA-дифеоморфізмом. А саме, дифеоморфізм Аносова $A={\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)}^3$ тора $T^2={ℝ}^2/{\mathbb{Z}}^2$ зберігає точки $(0,0),(0,1/2),(1/2,0),(1/2,1/2)$, які є нерухомими для відображення $I:x\mapsto -x$. Більш того, можна провести DA-конструкцію, побудувавши комутувальний з I дифеоморфізм f, для якого ці точки стають відштовхувальними, причому відображення в околі цих точок є чистою (розтягувальною) гомотетією.

Фактор тора за дією інволюції I — це двовимірна сфера (а відповідне накриття — дволисте з галуженням у чотирьох точках), і відображення f, яке комутує з I, спускається до дифеоморфізму сфери з чотирма відштовхувальними нерухомими точками. Перенесення одного з них на нескінченність (що дозволяє перейти до відображення диска в себе) закінчує побудову прикладу Пликіна.

Література

• Шаблон:Книга
• Аттрактор Плыкина Шаблон:Webarchive на сайті саратовської групи нелінійної динаміки.