Відстань Махаланобіса

Відстань Махаланобіса — відстань у евклідовому просторі, що узагальнює поняття евклідової відстані. Визначається формулою:

$d(X,Y;S)=\sqrt{(X-Y{)}^T{S}^{-1}(X-Y)}.$

де X, Y — вектори, S — матриця, T — позначає операцію транспонування. Відстань Махаланобіса використовується в багатовимірному статистичному аналізі, зокрема при перевірці гіпотез, класифікації спостережень і в кластерному аналізі. У цих застосуваннях S є коваріаційною матрицею деякого багатовимірного розподілу, що дозволяє визначити відстань між випадковими векторами із цього розподілу із врахуваннями кореляцій між компонентами. У випадку коли S — одинична матриця, відстань Махаланобіса збігається з евклідовою відстанню.

Поняття введено у 1936 році індійським статистиком Шаблон:Iw який, при дослідженні подібності черепів, використовував як відстань між двома нормальними розподілами з математичними сподіваннями ${\mu }_1$ і ${\mu }_2$ і спільною коваріаційною матрицею $\mathrm{\Sigma }$ величину $d({\mu }_1,{\mu }_2;\mathrm{\Sigma })$.

Відстань Махаланобіса між двома вибірками (з розподілів з однаковими коваріаційними матрицями) або між вибіркою і розподілом визначається шляхом заміни відповідних теоретичних моментів вибірковими. Як оцінка відстані Махаланобіса між розподілами застосовується відстань Махаланобіса вибірок з них, а у разі використання лінійної дискримінантної функції — статистика ${\mathrm{\Phi }}^{-1}(\alpha )+{\mathrm{\Phi }}^{-1}(\beta )$, де $\alpha$ — частота правильної класифікації в першій сукупності, $\beta$ — в другій, $\mathrm{\Phi }$ — функція нормального розподілу з математичним очікуванням 0 і дисперсією 1.

Див. також

• Евклідова відстань
• Відстань Мінковського

Література

• Айвазян С. А., Бежаева 3. И., Староверов О. В., Классификация многомерных наблюдений М.1974.
• Андерсон Т.,Введение в многомерный статистический анализ, пер. с англ. М., 1963;
• Махаланобиса расстояние, Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия