Числа Бетті

В алгебраїчній топології n-вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної гомологічної групи з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра, що реалізовує комплекс K, що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами) циклів в ньому.

Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре, який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті.

Приклади

• Для сфери $S^n:$

$b_0(S^n)=1,b_1(S^n)=\dots =b_{n-1}(S^n)=0,b_n(S^n)=1.$

• Для проективної площини $P_2(ℝ):$

$b_0(P_2(ℝ))=1,b_1(P_2(ℝ))=b_2(P_2(ℝ))=0.$

• Для тора $T^2:$

$b_0(T^2)=b_2(T^2)=1,b_1(T^2)=2.$

Приклад: перше число Бетті в теорії графів

В топологічній теорії графів перше число Бетті графу G з n вершинами, m ребрами та k компонентами зв'язності дорівнює

$m-n+k.$

Це можна безпосередньо довести із використанням математичної індукції за кількістю ребер. Нове ребро або збільшує кількість 1-циклів, або зменшує кількість компонент зв'язності.

Дивись цикломатичну складність як приклад застосування першого числа Бетті в розробці програмного забезпечення.

Властивості

• Для скінченного симпліційного комплекса K групи гомологій H_k(K) є скінченно-породженими і, відтак, мають скінченний ранг. Якщо k перевищує максимальну розмірність симплексів K, то відповідні групи гомологій нульові. У цьому випадку
  • Ейлерова характеристика K може бути виражена наступним чином

    $\chi (K)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^i{\beta }_i(K)$

  • Функція Пуанкаре є поліномом.
• Згідно з теоремою Кюннета для будь-яких двох просторів X і Y, вірно наступне співвідношення для функцій Пуанкаре

$P_{X\times Y}=P_X{P}_Y,$

• Якщо X — замкнутий і орієнтовний n-вимірний многовид, то, згідно з двоїстістю Пуанкаре, для будь-якого k:

  ${\beta }_k(X)={\beta }_{n-k}(X).$

Література

• Шаблон:Александров.Введение в теорию множеств и общую топологию