Накриття (топологія)

Накриття відкритої множини U

Накриття — неперервне сюр'єктивне відображення $p:X\to Y$ топологічного простору X на топологічний простір Y, таке, що для будь-якої точки $x\in Y$ знайдеться окіл $U\subset Y$, повний прообраз якого $p^{-1}(U)$ є об'єднанням відкритих множин $V_k\subset X$, що не перетинаються:

$p^{-1}(U)=V_1\cup V_2\cup \dots$,

причому на кожній множині $V_k$ відображення $p:V_k\to U$ є гомеоморфізмом між $V_k$ і $U$.

Пов'язані визначення

• Простір Y називається базою накриття, а X — простором накриття (або накриваючим простором).
• Прообраз $p^{-1}(x)$ точки $x\in Y$ називають шаром над точкою $x$.
• Число областей V_k в повному прообразі $p^{-1}(U)$ називається числом листів.
  • Якщо це число скінченне і рівне n, то накриття називається n-листовим.
• Накриття називається універсальним якщо накриваючий простір є однозв'язним.

Приклади

• Нехай $S^1$ позначає одиничне коло комплексної площини $S^1=\{z\in ℂ||z|=1\}$.
  • $p:ℝ\to S^1,p:x\mapsto e^{2\pi ix}$.
  • $p:S^1\to S^1,p:z\mapsto z^k$, де $k\ne 0$, $k\in \mathbb{Z}$.
• Нехай $X=S^1\times S^1$ — тор. Тоді ${ℝ}^2$ є накриваючим простором і накриття задається формулою:
  • $p:{ℝ}^2\to S^1\times S^1,p:(x,y)\mapsto (e^{2\pi ix},e^{2\pi iy})$.

Властивості

• Нехай $p:X\to Y$ — накриття і $U\subset X$ — відкрита підмножина простору X. Тоді множина p(U) е відкритою у Y.
• Нехай $p:X\to Y$ — накриття і Z — зв'язний і локально-зв'язний простір. Нехай $a,b:Z\to X$ — неперервні відображення, що задовольняють умови

1. $p\circ a=p\circ b;$
2. $a(y_0)=b(y_0)$ для деякого $y_0\in Y.$

тоді $a=b.$

• Накриття є частковими випадками локально тривіальних розшарувань. Їх можна розглядати як локально тривіальні розшарування з дискретним шаром.

Зв'язок з фундаментальною групою

Зазвичай накриття розглядається в припущенні зв'язності $X$ і $Y$ а також локальної зв'язності і локальної однозв'язності $Y$. При цих припущеннях встановлюється зв'язок між фундаментальними групами ${\pi }_1(X,x_0)$ і ${\pi }_1(Y{y}_0)$: якщо $p(x_0)=y_0$, то індукований гомоморфізм $p:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(Y{y}_0)$, відображає ${\pi }_1(X,x_0)$ ізоморфно на підгрупу в ${\pi }_1(Y{y}_0)$ і, міняючи точку $x_0$ у $p^{-1}(y_0)$, можна одержати в точності всі підгрупи з деякого класу спряжених підгруп.

Якщо цей клас складається з однієї підгрупи $H$ (тобто $H$ — нормальна підгрупа), те накриття називається регулярним. В цьому випадку виникає вільна дія групи $G={\pi }_1(Y{y}_0)/H$ на $X$, причому $p$ виявляється фактор-відображенням на простір орбіт $Y$.

Взагалі, вільні дії дискретних груп — типове джерело регулярних накриттів (над простором орбіт, хоч і не всяка така дія задає накриття, простір орбіт може виявитися невіддільним).

Ця дія породжується підняттям петель: якщо петлі $q:[0,1]\to Y$, $q(0)=q(1)=y_0$, зіставити єдиний шлях $\tilde{q}:[0,1]\to X$, для якого $q(0)=x_0$ і $p\tilde{q}=q$, то точка $\tilde{q}(1)$ залежатиме тільки від класу цієї петлі в $G$ і від точки $x_0$. Таким чином, елементу з $G$ відповідає перестановка точок в $p^{-1}(y_0)$. Ця перестановка не має нерухомих точок, і неперервно залежить від точки $y_0$. Це визначає гомеоморфізм $X$, що комутує з $p$.

У загальному випадку ця конструкція визначає лише перестановку в $p^{-1}(y_0)$, тобто дію ${\pi }_1(Y{y}_0)$ на $p^{-1}(y_0)$, що називається монодромією накриття.

Окремим випадком регулярного накриття є універсальне накриття, для якого $G={\pi }_1(Y{y}_0)$ або, що еквівалентно, X — однозв'язний простір.

Взагалі, по кожній групі $H\subset {\pi }_1(Y{y}_0)$ однозначно будується накриття $p:X\to Y$, для якого образ ${\pi }_1(X{x}_0)$ є $H$.

Для будь-якого відображення $f$ лінійно зв'язного простору $(Z{z}_0)$ у $(Y{y}_0)$ підняття його до відображення $\tilde{f}:(Z{z}_0)\to (X,x_0)$ існує тоді і тільки тоді, коли образ $f({\pi }_1(Z{z}_0))$ лежить в $H$. Між накриттями $Y$ є відношення часткового порядку (накриття деякого накриття простору X теж є накриттям простору X), подвійне включенню підгруп в ${\pi }_1(Y{y}_0)$. Зокрема, універсальне накриття є єдиним максимальним елементом.

Див. також

• Фундаментальна група

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга