Метод Ейлера

Ілюстрація методу Ейлера. Шукана крива синя, а її полігональне наближення червоне.

В чисельних методах методом Ейлера називають спосіб розв'язувати звичайні диференціальні рівняння з заданим початковим значенням. Це найбільш базовий вид чисельних методів інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

Неформальний геометричний опис

Розгляньмо задачу рисування графіка невідомої кривої, яка починається в даній точці і задовольняє дане диференціальне рівняння. Тут дифрівняння може розглядатись як формула для тангенса кута нахилу дотичної до кривої, що може бути обчисленим в кожній точці цієї кривої за координатами.

Ідея методу полягає в тому, що, хоча крива спочатку невідома, її початкова точка, яку ми позначимо $A_0,$ відома (як на ілюстрації вгорі праворуч). Тоді, в цій точці можна обчислити нахил дотичної.

Тепер зробімо маленький крок вздовж дотичної до точки $A_1$. Якщо ми припустимо, що $A_1$ все ще на кривій (приблизно), тоді до неї можна застосувати ті ж міркування. Таким чином, ми отримаємо послідовність точок, що утворюють ламану, яка приблизно повторює криву.

Відхилення між отриманою ламаною можна зробити не надто великим, якщо робити короткі кроки вздовж дотичних і будувати криву на скінченному короткому інтервалі. Хоча для деяких рівнянь можуть виникати додаткові ускладнення.

Застосування

Ілюстрація чисельного інтегрування рівняння $y^{\prime }=y,y(0)=1$. Синій - метод Ейлера, зелений - метод середньої точки, червоний - точний розв'язок, $y=e^t$. Розмір кроку - $h=1.0$.

Та ж ілюстрація для кроку $h=0.25$. Видно що метод середньої точки збігається швидше ніж метод Ейлера.

Ми хочемо наблизити розв'язок наступної задачі початкових значень:

$y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),y(t_0)=y_0,$

використовуючи перші два доданки ряду Тейлора для y, які представляють лінійне наближення біля точки $(t_0,y(t_0))$. Один крок методу Ейлера з $t_n$ до $t_{n+1}=t_n+h$ проводиться так:

$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n).$

Метод Ейлера є явним, тобто розв'язок $y_{n+1}$ є явною функцією $y_i$ для $i\le n$.

Хоча метод Ейлера працює для ЗДР першого порядку, будь-яке ЗДР порядку $N$ може бути представленим як ЗДР першого порядку додаванням $N-1$ додаткових змінних, $y^{\prime },y^{″},\dots ,y^{(N)}$, і створенням $N$ рівнянь першого порядку з цими змінними. Метод Ейлера можна застосовувати до вектора $𝐲(t)=(y(t),y^{\prime }(t),y^{″}(t),...,y^{(N)}(t))$ для інтегрування системи рівнянь вищих порядків.

Похибка

Якщо припустити, що $f(t)$ і відповідно $y(t)$ відомі точно в момент $t_0$, тоді метод Ейлера дає приблизний розв'язок в момент $t_0+h$ як:

$y(t_0+h)=y(t_0)+hf(t_0,y(t_0))=y(t_0)+h{y}^{\prime }(t_0)$

(друга рівність зберігається тому що y задовольняє дифрівняння $y^{\prime }=f(t,y)$). Розклад Тейлора для $h$ біля $t_0$ дає:

$y(t_0+h)=y(t_0)+h{y}^{\prime }(t_0)+\frac{1}{2}{h}^2{y}^{″}(t_0)+O(h^3).$

Похибка методу Ейлера задається різницею між цими двома рівняннями:

$\frac{1}{2}{h}^2{y}^{″}(t_0)+O(h^3).$

Для маленьких $h$, домінуючий доданок похибки пропорційний $h^2$. Щоб розв'язати задачу на заданому проміжку $t$, необхідна кількість кроків, яка пропорційна до $1/h$ тому можна очікувати, що загальна похибка на кінці інтервалу буде пропорційна $h$ (похибка за один крок, помножена на кількість кроків). З цієї причини, метод Ейлера називають методом першого порядку, і він є менш точним (для малих $h$) ніж методи вищих порядків, таких як метод Рунге-Кутти, чи метод Адамса.

Стійкість

Метод Ейлера може бути чисельно нестійким, особливо для жорстких рівнянь. Це обмеження, поряд з тим фактом, що він повільно збігається при зменшенні $h$, означає, що метод використовується нечасто, і хіба що як простий приклад чисельного інтегрування. Нестійкості можна уникнути, використовуючи алгоритм Ейлера-Кромера.

Див. також

• Метод Рунге-Кутти
• Метод Адамса

Посилання

• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth. Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. 1998. SIAM. ISBN 0898714125