Унітарна група

Шаблон:Теорія груп Унітарна група — група унітарних матриць з рангом n, групова операція якої — множення матриць. Позначається U(n).

Модуль визначника унітарної матриці дорівнює 1. Важливим частковим випадком унітарної групи є спеціальна унітарна група — група унітарних матриць з визначником 1. Позначається SU(n).

Група U(n) та її підгрупа SU(n) використовуються в квантовій теорії поля.

Група U(1) є групою комплексних чисел із модулем одиниця, тобто чисел, які можна подати у вигляді:

$z=e^{i\phi }$,

де $\phi$ - дійсне число.

Тензорний простір унітарних груп

Нехай простір тензорів $n$-рангу $T^{i_1{i}_2...i_n}(i_1,i_2,...,i_n=0,1,...,r)$ перетворюється по $n$-кратному прямому добутку представлень унітарної групи $U_r.$ Приведемо цей простір на симетричній групі $S_n,$ яка представляє індекси $i_1,i_2,...,i_n,$ і отримані таким чином $S_n$-незвідні тензори позначмо через

$T\left(\begin{array}{c}\lambda \mu \\ \gamma \end{array}\right),$

де $\lambda$ - $S_n$-незвідне представлення (Схема Юнга), $\mu$ - його базис, а $\gamma$ - індекс кратності $S_n$-представлення $\lambda .$

Базис

$T\left(\begin{array}{c}\lambda \mu \\ \gamma \end{array}\right)$

є незвідним і по відношенню до перетворень групи $U_r,$ причому $U_r$ - незвідне представлення позначається тією ж самою схемою Юнга $\lambda$, а $\mu$ має сенс індексу кратності $U_r$-незвідного представлення $\lambda$.

Див. також

• Ортогональна група

Шаблон:Math-stub