Висота (теорія кілець)

Висота ідеалу — мінімум висот простих ідеалів, що містять даний ідеал. Висота $\mathrm{ht}(𝔭)$ простого ідеалу $𝔭$ в кільці R — найбільше число h (або $\mathrm{\infty }$, якщо такого числа немає) таке, що існує ланцюг різних простих ідеалів

${𝔭}_0⊊{𝔭}_1⊊{𝔭}_2\cdots ⊊{𝔭}_h=𝔭$

Ковисота $\mathrm{coht}(𝔭)$ простого ідеалу $𝔭$ визначається як найбільше h, для якого існує ланцюг простих ідеалів

$𝔭={𝔭}_0⊊{𝔭}_1⊊{𝔭}_2\cdots ⊊{𝔭}_h\ne R$

Висота простого ідеалу рівна корозмірності многовиду, що визначається ідеалом, а ковисота — розмірності цього многовиду. Висота і ковисота простого ідеалу пов'язані нерівністю

$\mathrm{ht}(𝔭)+\mathrm{coht}(𝔭)\le \dim R$

де $\dim R$ позначає розмірність Круля. Рівність досягається, наприклад, у разі, коли R — локальне кільце Коена — Маколея .

Прості ідеали висоти 0 — це мінімальні прості ідеали. Існування в нетеровій області цілісності простих ідеалів висоти 1 встановлює теорема про головний ідеал: висота ненульового головного ідеалу рівна 1. Загальніший результат — теорема Круля, пов'язує висоту з числом твірних ідеала: у нетеровому кільці висота ідеала, породженого n елементами, не перевищує n, і навпаки: простий ідеал висоти n є мінімальним серед простих ідеалів, що містять деякі n елементів. Зокрема, в нетеровому кільці будь-який ідеал має скінченну висоту; відносно ковисоти це вже не так.

Див. також

• Розмірність Круля

Джерела

• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 1./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1977
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1