Дробовий ідеал

Дробовий ідеал — підмножина Q поля часток K області цілісності R, що має вигляд $Q=a^{-1}I$, де $a\in R,a\ne 0,I$ — ідеал кільця R.

У інших термінах Q є R-підмодулем поля K, всі елементи якого допускають спільний знаменник, тобто існує елемент $a\in R,a\ne 0,$ такий, що $ax\in R$ для всіх $x\in Q.$

Для двох дробових ідеалів Q і P визначається операція множення: QP — множина всіх скінченних сум $\sum _n{i}_n{j}_n,i_n\in Q,j_n\in P.$ Дробові ідеали утворюють щодо множення напівгрупу $𝔄$ з одиницею R. Для дробового ідеалу Q визначається дробовий ідеал

$Q^{*}=(R:Q)=\{x\in K|xQ\subset R\}.$

Очевидно $Q^{*}Q\subset R.$ Якщо при цьому виконується рівність, то дробовий ідеал Q є оборотним елементом напівгрупи $𝔄$ і дробовий ідеал $Q^{*}$ є його оберненим елементом.

Для дедекіндових кілець і лише для них напівгрупа $𝔄$ є групою, тобто кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда має обернений дробовий ідеал. Дана група є вільною абелевою групою, твірними якої є прості ідеали кільця Дедекінда.

Оборотні елементи напівгрупи $𝔄$ називаються оборотними ідеалами. Кожен оборотний ідеал має скінченний базис над R. Також кожен скінченно породжений R-модуль є дробовим ідеалом.

Головним дробовим ідеалом називається дробовий ідеал породжений одним елементом як R-підмодуль поля K. Тобто головний дробовий ідеал, це множина виду $aR,a\in K.$ Всі головні дробові ідеали є оборотними: оберненим ідеалом є ідеал $a^{-1}R.$ Два головних ідеали $aR,a\in K$ і $bR,b\in K$ рівні тоді і тільки тоді, коли $a=be,$ де e — оборотний елемент кільця R.

Дивізоріальні ідеали

Нехай $\tilde{I}$ — перетин всіх головних дробових ідеалів, що містять дробовий ідеал I. Еквівалентно,

$\tilde{I}=(R:(R:I)),$

де

$(R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}$.

Якщо $\tilde{I}=I$ тоді ідеал I називається дивізоріальним.

Література

• Шаблон:Бурбаки.Коммутативная алгебра
• Шаблон:Зарисский.Самюэль.Коммутативная алгебра.том1

Посилання

• Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій Шаблон:Webarchive