Тетрація

Шаблон:Не плутати2 Тетрація (суперстепінь, гіпер-4) — ітераційна операція піднесення до степеня; гіпероператор наступний після піднесення до степеня. Застосовується для опису великих чисел.

Термін тетрація, складається зі слів тетра- (чотири) та ітерація, був вперше застосований англійським математиком Рубеном Гудштейном в 1947 році

Тетрація як гіпероператор 4

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{\frac{n}{}}$ Нескінченне піднесення до степеня

Тетрація є четвертою по рахунку гіпероперацією.

1. додавання:

   $a+n=a+\underset{n}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}$

2. множення:

   $a\times n=\underset{n}{\underbrace{a+a+\cdots +a}}$

3. піднесення до степеня:

   $a^n=\underset{n}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}$

4. тетрація:

   ${}^{n}a=\underset{n}{\underbrace{a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^a}}}}}$

5. пентація:

   ${}_{n}a=\underset{n}{\underbrace{{}^{{}^{{}^{{}^a\cdot }\cdot }a}a}}$

Кожна наступна операція представлена як ітерація попередньої.

Властивості

• На відміну від попередніх трьох гіпероперацій, тетрація не має аналітичного продовження на комплексні числа.
• Тетрація не вважається елементарною функцією.
• Тетрація некомутативна, як і піднесення до степеня, тому також має дві обернених операції — суперкорінь та суперлогарифм.
• Тетрація неасоціативна:

$4^{}2=2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)}\ne {\left({\left(2^2\right)}^2\right)}^2=2^{2\cdot 2\cdot 2}$

Термінологія

	Термін
$a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{a^a}}}}$	Тетрація
$a^{a^{{\cdot }^{{\cdot }^{a^x}}}}$	Ітеративна експонента
$a_1^{a_2^{{\cdot }^{{\cdot }^{a_n}}}}$	Вкладена експонента (вежа)
$a_1^{a_2^{a_3^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$	Нескінченна експонента (вежа)

Позначення

Система	Позначення	Пояснення
Стандартний запис	${}^{n}a$
Ітеративна експонента	${\exp }_a^n(1)$
Гіпероператор	$a^{(4)}n,{\mathrm{hyper}}_4(a,n)$
Нотація Кнута	$a\uparrow \uparrow n$	стрілка Кнута
Нотація Конвея	$a\to n\to 2$	ланцюжок Конвея
Функція Акермана	$n^{}2=\mathrm{A}(4,n-3)+3$	тільки для випадку a = 2
ASCII запис	a^^n	варіант стрілки Кнута

Границя

Тетрацію при показникові прямуючому до нескінченності обчислюють як границю.

Наприклад, границя ${\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}}$ рівна 2.

Це можна узагальнити аж на комплексні числа:

${}^{\mathrm{\infty }}z=z^{z^{{\cdot }^{{\cdot }^{\cdot }}}}=\frac{\mathrm{W}(-\ln z)}{-\ln z}$

де W(z) — W-функція Ламберта.

Обернені функції

Оберненими функціями до тетрації є суперкорінь та суперлогарифм. Квадратний суперкорінь $\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{r}\mathrm{t}(x)$ є оберненою функцією до $x^x$ :

$\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{r}\mathrm{t}(x)=e^{W(\mathrm{l}\mathrm{n}(x))}=\frac{\mathrm{l}\mathrm{n}(x)}{W(\mathrm{l}\mathrm{n}(x))}$

Для натуральних чисел n > 2, функція ⁿx визначена та зростаюча при x ≥ 1, тому n-ий суперкорінь існує при x ≥ 1.

Тетрація ^xa неперервно зростає по x, тому суперлогарифм визначений для всіх дійсних x при a > 1.

${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{}^{x}a=x$

${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{a}^x=1+{\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}x$

${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}x=1+{\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{\log }_{a}x$

${\mathrm{s}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_{a}x>-2$

Див. також

• Теорема Гудштейна

Посилання

• Home of TetrationШаблон:Недоступне посилання