Логічна еквівалентність

Шаблон:Infobox Логічна еквівалентність (еквіваленція) — двомісна логічна операція, що має значення «істина» тоді і тільки тоді, коли обидва операнди мають однакове значення. В інших випадках еквіваленція буде хибною. Операція відображає вживання сполучника «тоді і тільки тоді» в логічних висловлюваннях.

Еквівалентність позначають символами: $\leftrightarrow$, $\equiv$.
( $A\leftrightarrow B$, $A\equiv B$ ).

Висловлення $A\leftrightarrow B$ є правдивим тоді і тільки тоді, коли водночас правдиві обидві імплікації $A\to B$ та $B\to A$, тобто:

$A\leftrightarrow B=(A\to B)\wedge (B\to A)$.

У природній мові аналогами еквіваленції є вирази:

A тоді і тільки тоді, коли B

A якщо B і B якщо A

Для A достатньо і необхідно B

A матеріально еквівалентно B

Визначення

Таблиця істинності виглядає таким чином: Шаблон:2-ary truth table Ця таблиця відрізняється від таблиці істинності для імплікації другим рядком, а від таблиці істинності для конверсії імплікації  — третім рядком.

Також еквівалентність є запереченням виключної диз’юнкції, тобто

$(A\leftrightarrow B)=\mathrm{\neg }(A\oplus B)$

Оскільки імплікація виражає відношення між достатньою умовою та її наслідком, а конверсія імплікації  — між необхідною умовою та її наслідком, то еквіваленція або подвійна імплікація, виражає відношення між достатньою і необхідною умовою та її наслідком.

Наприклад, "Якщо він знає англійську мову, то він перекладе цей текст", "Якщо геометрична фігура квадрат, то її діагоналі діляться навпіл". Як у матеріальній імплікації сполучник "якщо, то ..." не виражає смислового зв'язку між антецедентом і консеквентом, так і в еквіваленції сполучник "якщо і тільки якщо" не виражає змістовно зв'язку між лівою і правою частинами еквівалентності; він виражає лише відношення між їх істинними значеннями ("істина", "хибність"). Ця особливість еквіваленції відіграє важливу роль для операцій із символами у логічних численнях.

Знання логічної еквіваленції дає можливість:

• а) спростити запис послідовності висловлювань;
• б) перейти від одного висловлювання до логічно еквівалентного йому (тобто, з тим самим істинним значенням);
• в) замінити у послідовності формул одні формули на інші.

Властивості

• рефлексивність

$a\leftrightarrow a$

• асоціативність

$a\leftrightarrow (b\leftrightarrow c)\equiv (a\leftrightarrow b)\leftrightarrow c$

• комутативність

$a\leftrightarrow b\equiv b\leftrightarrow a$

• дистрибутивність

$a\vee (b\leftrightarrow c)\equiv (a\vee b)\leftrightarrow (a\vee c)$

Функціональна повнота

Множина операцій $\{\leftrightarrow ,\to ̸\}$ є функціонально повною:

$\mathrm{\neg }a\equiv (a\leftrightarrow a)\to ̸a$

$\mathrm{\neg }a\equiv a\leftrightarrow (a\to ̸a)$

$a\to b\equiv \mathrm{\neg }(a\to ̸b)$

...

Дивись також

• Відношення еквівалентності
• Булева множина
• Закони де Моргана
• Список логічних символів

Джерела і посилання

• Конверський А. Є. Логіка: Підручник для студентів юридичних факультетів. — К.: Центр навчальної літератури, 2004. — 304 с. ISBN 966-8568-48-6

Література

• Еквівалентність // Шаблон:ФЕС