Нерівність Бесселя

В математиці, нерівність Бесселя — твердження про коефіцієнти елемента $x$ у гільбертовому просторі стосовно ортонормованої послідовності.

Нехай $H$ — гільбертів простір, і $e_1,e_2,...$ — ортонормована послідовність елементів $H$. Тоді для довільного $x\in H$ виконується нерівність:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|⟨x,e_k⟩\right|}^2\le {\Vert x\Vert }^2$

де <∙,∙> позначає скалярний добуток у просторі $H$. Нерівність Бесселя випливає з наступної рівності:

$0\le {\Vert x-\sum _{k=1}^n⟨x,e_k⟩e_k\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2+\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2=\Vert x{\Vert }^2-\sum _{k=1}^n|⟨x,e_k⟩{|}^2,$

що виконується для довільного $n\ge 1$.

Посилання

• Шаблон:Беккенбах.Беллман
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Шаблон:Книга