Лема Рабіновича

Лема Рабіновича — лема в комутативній алгебрі, що доводить еквівалентність загальної теореми Гільберта про нулі і деякого її часткового випадку (що іноді називається слабкою теоремою Гільберта про нулі).

Твердження

Нехай $K$ — алгебраїчно замкнуте поле (наприклад, поле комплексних чисел). Нехай $K[X_1,\dots ,X_n]$ — кільце многочленів від змінних $X_1,\dots ,X_n$ з коефіцієнтами з поля $K$ і нехай $I$ — ідеал в тому кільці. Позначимо $V(I)$ — афінний многовид, що визначається цим ідеалом, а $I(X)$ — ідеал многочленів, що рівні нулю на многовиді X. З теореми Гільберта про нулі випливає, що для кожного власного ідеалу кільця $K[X_1,\dots ,X_n]$, множина $V(I)$ є непорожньою. Це твердження називається слабкою теоремою Гільберта про нулі. Лема Рабіновича стверджує, що насправді слабка теорема є еквівалентною загальній.

Доведення

Нехай $F\in I(V(I)).$ Розглянемо ідеал $J\subseteq K[x_1,\dots ,x_{n+1}]$, породжений всіма многочленами з I і ще многочленом $x_{n+1}F-1$. Очевидно, $V(J)=0$. Отже, $1\in J$, тобто $1=\sum _{i=1}^m{H}_i{F}_i+H_{m+1}(x_{n+1}F-1)$ для деяких многочленів $H_i\in K[x_1,\dots ,x_{n+1}]$ і деяких многочленів $F_i\in I$. Рівність є формальною рівністю многочленів, отже, ми можемо замінити в ній змінні x на будь-які значення, взяті з довільної К-алгебри .Замінивши x_n+1 на 1/F , ми одержимо: $1=\sum _{i=1}^m{H}_i(x_1,\dots ,x_n,1/F)F_i(x_1,\dots ,x_n)$ Помноживши ці рівності на спільний знаменник, який дорівнює F^k для деякого цілого k ми одержимо, що $F^k=\sum _{i=1}^m{G}_i{F}_i\in I$ , де Gⁱ позначає $F^k{H}_i(x_1,\dots ,x_n,1/F)$.

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії Шаблон:Webarchive
• Brownawell, W. Dale (2001), "Rabinowitsch trick Шаблон:Webarchive", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104