Ізольована точка

"$0$" ― ізольована точка множини $A=\{0\}\cup [1,2]$.

У математиці точка $x$ називається ізольованою точкою підмножини $S$ (у топологічному просторі $X$), якщо точка $x$ є елементом підмножини $S$ і існує такий окіл цієї точки $x$, який не містить жодних інших точок із даної підмножини $S$. Це еквівалентно тому, що сінґлетон (одноелементна множина) $\{x\}$ є відкритою множиною в топологічному просторі $S$ (розглядається як підпростір простору $X$). Інше еквівалентне формулювання: елемент $x$ підмножини $S$ є ізольованою точкою підмножини $S$ тоді й лише тоді, коли він не є граничною точкою підмножини $S$.

Якщо простір $X$ є евклідовим простором (або будь-яким іншим метричним простором), то елемент $x$ підмножини $S$ є ізольованою точкою підмножини $S$, якщо навколо $x$ існує така відкрита куля, яка містить лише скінченну кількість елементів підмножини $S$.

Пов'язані означення

Множина, яка складається лише з ізольованих точок, називається дискретною множиною (див. також дискретний простір). Будь-яка дискретна підмножина $S$ евклідового простору має бути зліченною, оскільки ізоляція будь-якої її точки разом із щільністю множини раціональних чисел у множині дійсних числах, означає, що точки підмножини $S$ можна відобразити в набір точок з раціональними координатами, яких є лише зліченно багато. Однак, не кожна зліченна множина є дискретною, канонічним прикладом є множина раціональних чисел у звичайній евклідовій метриці.

Множина, яка не має ізольованої точки, називається множиною Шаблон:Нп (будь-який окіл точки містить інші точки множини). Замкнута множина без ізольованої точки називається досконалою множиною (вона включає всі граничні точки, і жодна з них не ізольована на ній).

Кількість ізольованих точок є Шаблон:Нп, тобто, якщо два топологічні простори $X$ і $Y$ є гомеоморфними, то кількість ізольованих точок у кожному просторі є однаковою.

Приклади

Стандартні приклади

Топологічні простори в наступних трьох прикладах розглядаються як підпростори вісі дійсних чисел в стандартній топології.

• Для множини $S=\{0\}\cup [1,2]$ точка $0$ є ізольованою точкою.
• Для множини $S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}$, кожна з точок $1/k$ є ізольованою точкою, але точка $0$ не є ізольованою точкою, оскільки в підмножини $S$ є інші точки, які як завгодно близькі до точки $0$.
• Множина $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ натуральних чисел є дискретною множиною.

У топологічному просторі $X=\{a,b\}$ з топологією $\tau =\{\varnothing ,\{a\},X\}$, елемент $a$ є ізольованою точкою, навіть якщо $a$ належить до замикання елемента $\{b\}$ (і тому в якомусь значенні є "близьким" до $b$). Така ситуація є неможливою в гаусдофовому просторі.

Лема Морса стверджує, що невироджені критичні точки деяких функцій є ізольованими.

Два нелогічних приклади

Розглянемо набір точок з дійсного інтервалу $(0,1)$ такий, в якому кожна цифра $x_i$ їх двійкового представлення задовольняє наступним умовам:

• Або $x_i=0$ або $x_i=1$.
• $x_i=1$ лише для скінченної кількості індексів $i$.
• Якщо $m$ позначає найбільший індекс такий, що $x_m=1$, то $x_{m-1}=0$.
• Якщо $x_i=1$ і $i<m$, тоді виконується одна з наступних умов: $x_{i-1}=1$ або $x_{i+1}=1$.

Неформально ці умови означають, що кожна цифра двійкового представлення $x$, яка дорівнює $1$, належить парі $\dots 0110\dots$, за винятком $\dots 010\dots$ в самому кінці.

Тепер $F$ ― це явна множина, що повністю складається з ізольованих точок, яка має нелогічну властивість, що замикання цієї множини є незліченною множиною.

Інший набір $F$ з такими ж властивостями можна отримати наступним чином. Нехай $C$ ― множина Кантора середніх третин, нехай $I_1,I_2,I_3,\dots$ ― інтервали компонентів $[0,1]\setminus C$, і нехай $F$ ― множина, що включає по одній точці з кожного такого інтервалу $I_k$. Оскільки кожна точка інтервалу $I_k$ містить лише одну точку з множини $F$, то будь-яка точка множини $F$ є ізольованою точкою. Однак, якщо $p$ є будь-якою точкою в множині Кантора, то кожен окіл точки $p$ містить принаймні один інтервал $I_k$, а отже, принаймні одну точку з множини $F$. Звідси випливає, що кожна точка множини Кантора лежить у замиканні множини $F$, а отже, множина $F$ має незліченне замикання.

Див. також

• Ізольована точка кривої
• Точка дотику
• Гранична точка