Згортка Діріхле

В математиці, згортка Діріхле — бінарна операція визначена для арифметичних функцій, що широко використовується в теорії чисел. Названа на честь німецького математика Діріхле.

Визначення

Якщо ƒ і g — арифметичні функції, можна визначити нову арифметичну функцію ƒ * g, згортку Діріхле функційƒ і g,

$(f*g)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)g(n/d)$

де сума береться по всіх дільниках d числа n.

Приклади

Приклад 1

Визначимо функцію $E_0$ наступним чином:

$E_0(n)=\{\begin{array}{cc}1,& n=1,\\ 0,& n>1.\end{array}$

Визначимо тепер згортку Діріхле функції $E_0$ і деякої арифметичної функції $f:$

$\begin{array}{cc}(E_0*f)(n)& =\sum _{d|n,d>0}{E}_0(d)f(n/d)\\ & =E_0(1)f(n)+\sum _{d|n,d>1}{E}_0(d)f(n/d)\\ & =1\cdot f(n)+\sum _{d|n,d>1}0\cdot f(n/d)\\ & =f(n)+0=f(n).\\ \end{array}$

Приклад 2

Нехай функції $f$ і $g$ визначені наступним чином:

$f(n)=n$

$g(n)=n^2.$

Знайдемо значення згортки Діріхле для аргументу $n=10$:

$\begin{array}{cc}(f*g)(10)& =\sum _{d|10,d>0}f(d)g(10/d)\\ & =f(1)\cdot g(10)+f(2)\cdot g(5)+f(5)\cdot g(2)+f(10)\cdot g(1)\\ & =1\cdot 10^2+2\cdot 5^2+5\cdot 2^2+10\cdot 1^2\\ & =100+50+20+10=180.\\ \end{array}$

Властивості

Множина арифметичних функцій утворює комутативне кільце, щодо операцій поточкового додавання і згортки Діріхле, де мультиплікативною одиницею є функція δ, що визначається δ(n) = 1 якщо n = 1 і δ(n) = 0, якщо n > 1.

Оборотними елементами цього кільця є арифметичні функції f для яких f(1) ≠ 0. Згортка Діріхле задовольняє такі властивості:

• Асоціативність: $f*(g*h)=(f*g)*h$
• Комутативність: $f*g=g*f$
• Дистрибутивність: $f*(g+h)=f*g+f*h$

Згортка Діріхле двох мультиплікативних функцій є мультиплікативною функцією. Кожна мультиплікативна функція має обернену Діріхле, що теж є мультиплікативною функцією.

Обертання Діріхле

Для арифметичної функції ƒ, рекурсивна формула для обчислення оберненої Діріхле має вигляд:

$f^{-1}(1)=\frac{1}{f(1)}$

для n > 1,

$f^{-1}(n)=\frac{-1}{f(1)}\sum _{d\mid n,d<n}f\left(\frac{n}{d}\right)f^{-1}(d).$

Коли ƒ(n) = 1 для всіх n, тоді оберненою функцією є ƒ ⁻¹(n) = μ(n) — функція Мебіуса.

Ряди Діріхле

Якщо f — арифметична функція, відповідні їй ряди Діріхле визначаються формулою

$DG(f;s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(n)}{n^s}$

для тих комплексних аргументів s для яких ряд збігається.При цьому виконується рівність:

$DG(f;s)DG(g;s)=DG(f*g;s)$

для всіх s для яких обидва ряди зліва є збіжними, причому принаймні один абсолютно.

Література

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-84903-9.