Стійкий розподіл

Шаблон:UniboxСтійкий розподіл у теорії імовірностей — це такий розподіл, який може бути отриманий як границя за розподілом сум незалежних випадкових величин.

Визначення

Розподіл ${\mathbb{P}}^X$ випадкової величини $X$ називається стійким, якщо для будь-якого $n\in \mathbb{N}$ існують такі константи $a_n,b_n\in ℝ$, що розподіл випадкової величини $a_n+b_n$ збігається з розподілом суми:

$a_{n}X+b_n{=}^{𝒟}\sum _{i=1}^n{Y}_{n,i}$,

де рівність розуміється в змісті рівності розподілів, а випадкові величини $Y_{n,i}$ розподілені як $X$, тобто $Y_{n,i}\sim {\mathbb{P}}^X,i=,\dots ,n$.

Зауваження

• Якщо $F_X$ — функція стійкого розподілу, те $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }{a}_n,b_n\in ℝ$, такі що

$F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right)=F_X*\cdots *F(x),\mathrm{\forall }x\in ℝ$,

де $*$ позначає згортку.

• Якщо ${\varphi }_X$ — характеристична функція стійкого розподілу, те $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }{a}_n,b_n\in ℝ$, такі що

${\varphi }_X^n(t)={\varphi }_X(a_{n}t)e^{i{b}_{n}t}$.

Властивості стійких розподілів

• Випадкова величина має стійкий розподіл тоді і тільки тоді, коли вона є межею по розподілі лінійних комбінацій сум незалежних однаково розподілених випадкових величин. Більш точно, випадкова величина $X$ може бути межею по розподілі випадкових величин виду $\frac{S_n-b_n}{a_n}$, де

$S_n=\sum _{i=1}^n{Y}_i,\{Y_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ — незалежні однаково розподілені випадкові величини, тоді і тільки тоді, коли розподіл $X$ стійкий.

• (Представлення Леви — Хинчина) Логарифм характеристичної функції випадкової величини зі стійким розподілом має вид:

$\ln \varphi (t)=\{\begin{array}{cc}it\beta -d|t{|}^{\alpha }(1+i\theta \frac{t}{|t|}G(t,\alpha )),& t=0\\ 0,& t=0.\end{array},$

де $0<\alpha \le 2,\beta \in ℝ,d\ge 0,|\theta |\le 1,$ і

$G(t,\alpha )=\{\begin{array}{cc}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{2}\alpha ,& \alpha =1\\ \frac{2}{\pi }\ln |t|,& \alpha =1\end{array}.$

Див. також

• Безмежно подільний розподіл